IME / ITA(IME 1991) Número racional Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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goncalves3718
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(IME 1991) Número racional

Mensagem não lida por goncalves3718 »

    Mostre que [tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/tex3] é um número racional

    Última edição: Jigsaw (Qua 01 Jan, 2020 07:36). Total de 2 vezes.
    Razão: readequação do título (regra 4)



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    jvmago
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    Dez 2019 29 01:38

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por jvmago »

    eleve ao quadrado e veja as magicas que a matematica podem FAZER



    Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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    goncalves3718
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    Dez 2019 29 01:53

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por goncalves3718 »

    Mas se tenho uma raiz cúbica não fará sentido elevar ao quadrado! Mas vou tentar...



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    snooplammer
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    Dez 2019 29 10:04

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por snooplammer »

    É elevar ao cubo mesmo, usa a mesma ideia da outra questão

    a-b=k
    a³-b³=6

    a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
    k[(a-b)²+3ab]=6
    k[k²+3ab]=6

    ab=5/3
    3ab=5

    k³+5k=6

    Agora use o teorema das raízes racionais, ou apenas verifique que k=1 é raiz.



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    goncalves3718
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    Dez 2019 29 13:20

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por goncalves3718 »

    Como concluiu que 3ab=5?



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    snooplammer
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    Dez 2019 29 13:36

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por snooplammer »

    [tex3]a=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} [/tex3]

    [tex3]b=\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} [/tex3]

    [tex3]ab=\sqrt[3]{\left(\sqrt{9+\frac{125}{27}}+3\right)\(\sqrt{9+\frac{125}{27}}-3\)}=\frac{5}{3}[/tex3]

    Perceba que é uma diferença de quadrados



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    goncalves3718
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    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por goncalves3718 »

    Muito Obrigado!!! :D



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    Jigsaw
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    Dez 2019 30 07:31

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por Jigsaw »

    goncalves3718, caso a resolução tenha sido a contento, pedimos para que os usuários marquem as soluções aceitas, alem de incentivar aqueles que respondem, não sobrecarrega tanto os moderadores, mais detalhes no link abaixo, agradecemos pela compreensão:
    viewtopic.php?f=50&t=57121



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    Caf
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    Nov 2021 02 18:20

    Re: (IME 1991) Número racional

    Mensagem não lida por Caf »

    [tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+(125/27)}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+(125/27}}[/tex3]
    Pegando apenas o segundo termo:
    [tex3](-1).\sqrt[3]{-1}.[-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+(125/27)}}]=\sqrt[3]{3-\sqrt{9+(125/27)}}[/tex3]

    Agora temos:
    [tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+(125/27)}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+(125/27)}}=\sqrt[3]{-(-6)/2+\sqrt{((-6)/2)^2+(5/3)^3}}+\sqrt[3]{-(-6)/2-\sqrt{((-6)/2)^2+(5/3)^3}}[/tex3]
    Fazendo 5=a e (-6)=b,essa expressão nos traz a raiz da equação [tex3]x^3+5x-6[/tex3] ,que tem raiz igual a 1.

    Se usar o algoritmo de briot ruffini encontrará que a expressão equivale a (x-1)(x²+x+6).

    Como x²+x+6 tem raízes complexas,e a expressão é um numero real,1 deve ser o resultado da expressão,que é racional.

    Última edição: Caf (Ter 02 Nov, 2021 18:23). Total de 1 vez.



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