IME / ITA ⇒ (IME 1991) Número racional Tópico resolvido

[goncalves3718]

Mostre que [tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} -\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}[/tex3]

é um número racional

[jvmago]

eleve ao quadrado e veja as magicas que a matematica podem FAZER

[goncalves3718]

Mas se tenho uma raiz cúbica não fará sentido elevar ao quadrado! Mas vou tentar...

[snooplammer]

É elevar ao cubo mesmo, usa a mesma ideia da outra questão

a-b=k
a³-b³=6

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
k[(a-b)^2+3ab]=6
k[k²+3ab]=6

ab=5/3
3ab=5

k³+5k=6

Agora use o teorema das raízes racionais, ou apenas verifique que k=1 é raiz.

[goncalves3718]

Como concluiu que 3ab=5?

[snooplammer]

[tex3]a=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} [/tex3]

[tex3]b=\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} [/tex3]

[tex3]ab=\sqrt[3]{\left(\sqrt{9+\frac{125}{27}}+3\right)\(\sqrt{9+\frac{125}{27}}-3\)}=\frac{5}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ab=\sqrt[3]{\left(\sqrt{9+\frac{125}{27}}+3\right)\(\sqrt{9+\frac{125}{27}}-3\)}=\frac{5}{3}[/tex3]

Perceba que é uma diferença de quadrados

[goncalves3718]

Muito Obrigado!!!

[Jigsaw]

goncalves3718, caso a resolução tenha sido a contento, pedimos para que os usuários marquem as soluções aceitas, alem de incentivar aqueles que respondem, não sobrecarrega tanto os moderadores, mais detalhes no link abaixo, agradecemos pela compreensão:
viewtopic.php?f=50&t=57121

[Caf]

[tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+(125/27)}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+(125/27}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+(125/27)}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+(125/27}}[/tex3]

Pegando apenas o segundo termo:
[tex3](-1).\sqrt[3]{-1}.[-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+(125/27)}}]=\sqrt[3]{3-\sqrt{9+(125/27)}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](-1).\sqrt[3]{-1}.[-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+(125/27)}}]=\sqrt[3]{3-\sqrt{9+(125/27)}}[/tex3]

Agora temos:
[tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+(125/27)}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+(125/27)}}=\sqrt[3]{-(-6)/2+\sqrt{((-6)/2)^2+(5/3)^3}}+\sqrt[3]{-(-6)/2-\sqrt{((-6)/2)^2+(5/3)^3}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{3+\sqrt{9+(125/27)}}+\sqrt[3]{3-\sqrt{9+(125/27)}}=\sqrt[3]{-(-6)/2+\sqrt{((-6)/2)^2+(5/3)^3}}+\sqrt[3]{-(-6)/2-\sqrt{((-6)/2)^2+(5/3)^3}}[/tex3]

Fazendo 5=a e (-6)=b,essa expressão nos traz a raiz da equação [tex3]x^3+5x-6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^3+5x-6[/tex3]

,que tem raiz igual a 1.

Se usar o algoritmo de briot ruffini encontrará que a expressão equivale a (x-1)(x²+x+6).

Como x²+x+6 tem raízes complexas,e a expressão é um numero real,1 deve ser o resultado da expressão,que é racional.