IME / ITA

Segundo o gráfico, [tex3]A[/tex3] , [tex3]B[/tex3] e [tex3]F[/tex3] são pontos de tangência e [tex3]AC=DE=2[/tex3] . Calcule a área da região sombreada.

: orta..PNG (16.14 KiB) Exibido 951 vezes

a) [tex3]16\pi [/tex3]
b) [tex3]15\pi [/tex3]
c) [tex3]18\pi [/tex3]
d) [tex3]12\pi [/tex3]
e) [tex3]20\pi [/tex3]

Resposta

d

Mensagem não lidapor **jvmago** » Sex 06 Dez, 2019 04:45 · Mensagem não lida por **jvmago** » Sex 06 Dez, 2019 04:45

Fica fácil ver por paralelismo que AE //FP onde P é o ponto pelo qual parte a perpendicular cujos pés são os pontos E e F. Por essa razão, AC=CB=CD=DE=a e então AE=4a

Por fim, basta reparar que os triângulos OAC e ABD são congruentes tal que AD=r=2a

Portanto S=4a²π como a=2
S=16π

PIMBADA

A primeira noção do exercício é compreender a natureza do triangulo [tex3]\Delta BCD[/tex3] , sabendo que o exercício afirma que [tex3]AC=DE=2[/tex3] , deve-se notar que esse triângulo é, pelo menos, Isósceles. Vamos tomar que [tex3]\hat F=\alpha[/tex3] . Considerando o Triângulo Semelhante, podemos anotar que o ângulo de (eu devia ter colocados mais pontos na minha imagem) [tex3]90^\circ-\alpha[/tex3] (Dado que B é ponto de Tangência, logo a reta [tex3]BC[/tex3] possui ângulo de [tex3]90^\circ[/tex3] com Círculo)

: Círculo.jpg (22.48 KiB) Exibido 931 vezes

*Note que eu "tracei" um reta vertical para trazer os dois ângulos [tex3]\alpha[/tex3] para o triângulo [tex3]\Delta BCD[/tex3]

Sabemos que são ângulos iguais, logo

[tex3]2\alpha=90^\circ-\alpha\\3\alpha=90^\circ\\\color{JungleGreen}\boxed{\alpha=30^\circ}[/tex3]

Vamos posicionar os ângulo

: Circulo 2.jpg (23.36 KiB) Exibido 931 vezes

[tex3]C[/tex3] é o ponto de encontro das retas tangentes [tex3]AC[/tex3] e [tex3]CB[/tex3] , por isso os segmentos [tex3]AC=BC=2[/tex3]

Porem, mais uma novidade, como [tex3]\Delta BCD[/tex3] é Isósceles, mas um dos ângulos é [tex3]60 ^\circ[/tex3] , logo todos também são, sendo um triângulo equilátero, ou seja, lados iguais.

Definimos que [tex3]AD=4[/tex3] e sabemos o ângulo [tex3]\hat F[/tex3] , vamos usar a [tex3]\tg=30^\circ[/tex3] para achar o raio (que no caso, denominei de [tex3]x[/tex3] , logo, o diâmetro do circulo e cateto adjacente do triângulo é [tex3]2x[/tex3] ):

[tex3]\tg30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}^2}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}x}[/tex3]

[tex3]x=\frac{2\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}3}^\sqrt3}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}\sqrt3}}[/tex3]

[tex3]\color{BurntOrange}\boxed{x=2\sqrt3}[/tex3]

Por fim, para determinar a Área do Círculo:

[tex3]A=\pi {\color{BurntOrange}x}^2[/tex3]

[tex3]A=\pi({\color{BurntOrange}2\sqrt3})^2[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{A=12\pi}[/tex3]

[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa D}[/tex3]

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