IME / ITA ⇒ Geometria espacial Tópico resolvido

[FGui]

A geratriz AB de tronco de cone mede 13 e os raios das bases 3 e 8 respectivamente. A partir do ponto B, pertencente à base maior, que comprimento devemos tomar sobre AB para que um plano paralelo a base seccione esse tronco, determinando, na parte superior do tronco dado outro tronco de cone de volume 1612/27?

Resposta

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Resposta: 26/3

[Tassandro]

FGui,
Essa é brutal. Apenas um adendo: o volume na verdade é [tex3]\frac{1612π}{27}[/tex3]

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[tex3]\frac{1612π}{27}[/tex3]

Seja [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

a distância desse plano ao vértice A. Queremos o valor de [tex3]13-x[/tex3]

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[tex3]13-x[/tex3]

.
Note que a altura do tronco inicial vale [tex3]12[/tex3]

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[tex3]12[/tex3]

. Assim, por semelhança de triângulos, achamos facilmente que a altura do novo tronco vale [tex3]\frac{12x}{13}[/tex3]

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[tex3]\frac{12x}{13}[/tex3]

e o raio de sua base maior vale [tex3]\(3+\frac{5x}{13}\)[/tex3]

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[tex3]\(3+\frac{5x}{13}\)[/tex3]

Da fórmula do volume do cone
[tex3]V=\frac{πh}{3}(R^2+Rr+r^2)\implies\\
\frac{1612π}{27}=\frac{12πx}{4\cdot13}\(\(3+\frac{5x}{13}\)^2+3\(3+\frac{5x}{13}\)+9\)[/tex3]

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[tex3]V=\frac{πh}{3}(R^2+Rr+r^2)\implies\\
\frac{1612π}{27}=\frac{12πx}{4\cdot13}\(\(3+\frac{5x}{13}\)^2+3\(3+\frac{5x}{13}\)+9\)[/tex3]

Desenvolvendo essa maravilha e simplificando, achamos que
[tex3]\frac{25x^3}{169}+\frac{45x^2}{13}+27x-\frac{5239}{27}=0[/tex3]

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[tex3]\frac{25x^3}{169}+\frac{45x^2}{13}+27x-\frac{5239}{27}=0[/tex3]

Fatorando e simplificando, achamos que isso equivale a
[tex3](3x-13)(225x^2+6240x+68107)=0[/tex3]

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[tex3](3x-13)(225x^2+6240x+68107)=0[/tex3]

Logo, como a equação do 2° grau não possui raízes positivas, temos que [tex3]3x-13=0\implies x=\frac{13}3\implies 13-x=13-\frac{13}3=\frac{26}3\tag*{}[/tex3]

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[tex3]3x-13=0\implies x=\frac{13}3\implies 13-x=13-\frac{13}3=\frac{26}3\tag*{}[/tex3]