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No gráfico, [tex3]M[/tex3] , [tex3]N[/tex3] , [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são pontos de tangência, [tex3]RA=BC[/tex3] , [tex3]AD=SB[/tex3] , [tex3]BT=DC[/tex3] e [tex3]CF=AB[/tex3] . Se [tex3]BD+AC=7[/tex3] , [tex3]a^2+b^2+c^2+d^2=65[/tex3] , calcule a distância entre os pontos médios das diagonais do quadrilátero [tex3]ABCD[/tex3] .

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a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1,5

Resposta

e

seu gabarito está ERRADO!

Ao som de GOGO

FAÇAMOS A SEGUINTE CONVEÇÃO:
[tex3]RM=m[/tex3] , [tex3]SB=n[/tex3] , [tex3]BT=l[/tex3] e [tex3]CF=t[/tex3]

Aplicando quatro potencias de ponto temos

[tex3]a^2=m^2+mn[/tex3]
[tex3]b^2=n^2+mn[/tex3]
[tex3]c^2=l^2+lt[/tex3]
[tex3]d^2=t^2+lt[/tex3]

somando as quatro equações e utilizando a primeira informacao dada

[tex3]65=m^2+n^2+l^2+t^2+2(mn+lt)[/tex3]

Sabemos que por propriedade fica valida a relação

[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3] utilizando isso na equação anterior

[tex3]65=4x^2+AC^2+BD^2+2(mn+lt)[/tex3]

Repare agora que ABCD é inscritivel portanto por ptolomeu

[tex3]mn+lt=AC*BD[/tex3] substituindo isso na anterior
[tex3]65=4x^2+AC^2+2(AC*BD)+BD^2[/tex3]
[tex3]4x^2+(AC+BD)^2=65[/tex3]

Pela ultima informação
[tex3]4x^2+49=65[/tex3]
[tex3]x=2[/tex3]

[tex3]PIMBADA[/tex3]

Esse jv é mago. uhu o/

jvmago escreveu: ↑
Qua 04 Dez, 2019 21:07
sabemos que por propriedade fica valida a relação
[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]

Como é o nome dessa relação/propriedade/teorema??

Babi123 escreveu: ↑
Qua 04 Dez, 2019 21:52

jvmago escreveu: ↑
Qua 04 Dez, 2019 21:07
sabemos que por propriedade fica valida a relação
[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]

Como é o nome dessa relação/propriedade/teorema??

não sei se tem um nome mas posso demonstra-lo aqui

Seja ABCD um quadrilátero QUALQUER e diagonais [tex3]AC,BD[/tex3]

Rubrique dois pontos [tex3]M,N[/tex3] nas diagonais tal que [tex3]BM=MD[/tex3] e [tex3]AN=NC[/tex3]

Tracemos [tex3]AM[/tex3] E [tex3]MC[/tex3] REPARE QUE [tex3]AM[/tex3] é mediana do triangulo [tex3]ABD[/tex3] assim como [tex3]MC[/tex3] é mediana do triangulo [tex3]BCD[/tex3] PORTANTO utilizando o teorema das medianas teremos

[tex3]AM^2+\frac{BD^2}{4}=\frac{AB^2+AD^2}{2}[/tex3]
[tex3]MC^2+\frac{BD^2}{4}=\frac{BC^2+DC^2}{2}[/tex3]

OLHE AGORA para o triangulo [tex3]AMC[/tex3] e note que [tex3]MN=x[/tex3] É MEDIANA portanto

[tex3]x^2+\frac{AC^2}{4}=\frac{AM^2+MC^2}{2}[/tex3]

somando as duas primeiras temos
[tex3]AM^2+MC^2=\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2-BD^2}{2}[/tex3] Usando isso na anterior

[tex3]x^2+\frac{AC^2}{4}=\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2-BD^2}{4}[/tex3] TAL QUE fica verificado
[tex3]4x^2+AD^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2[/tex3]

Babi123 escreveu: ↑
Qua 04 Dez, 2019 21:52

jvmago escreveu: ↑
Qua 04 Dez, 2019 21:07
sabemos que por propriedade fica valida a relação
[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]t^2+n^2+m^2+l^2=4x^2+AC^2+BD^2[/tex3]

Como é o nome dessa relação/propriedade/teorema??

Relação de Euler

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(Simulado IME/ITA) Geometria Plana

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