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(Nível IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: Qui 28 Nov, 2019 16:29
por Flavio2020
Sabe-se que [tex3]ABE[/tex3]
e [tex3]BCD[/tex3]
são triângulos equiláteros. [tex3]M[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
são pontos médios de [tex3]AE[/tex3]
e [tex3]CD[/tex3]
. Calcule a área da região EMCN se AD=l e m<(ABC)=60°.
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a) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{4}[/tex3]
c) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{8}[/tex3]
d) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{16}[/tex3]
e) [tex3]\frac{l²\sqrt{3}}{6}[/tex3]
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: Qui 28 Nov, 2019 17:57
por joaopcarv
Sejam [tex3]\mathsf{a}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{b}[/tex3]
os lados de [tex3]\mathsf{\triangle ABE}[/tex3]
e [tex3]\mathsf{\triangle BCD}[/tex3]
, respectivamente. [tex3]\mathsf{\measuredangle{ABD} \ = \ \underbrace{\mathsf{\measuredangle{ABC}}}_{= \ 60^\circ} \ + \ \underbrace{\mathsf{\measuredangle{CBD}}}_{= \ 60^\circ} \ = \ 120^\circ.}[/tex3]
Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3]
, tem-se: [tex3]\mathsf{(\overline{\underbrace{AD}_{(l)}})^2 \ = \ (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}})^2 \ + \ (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}})^2 \ - \ 2 \cdot (\overline{\underbrace{AB}_{(a)}}) \cdot (\overline{\underbrace{BD}_{(b)}}) \cdot \cos(\underbrace{\measuredangle{CBD}}_{= 120^\circ}):}[/tex3]
[tex3]\boxed{\mathsf{l^2 \ = \ a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b}}[/tex3]
Agora, pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ A_{\triangle ABE} \ + \ A_{\triangle ABC} \ + \ A _{\mathsf{\triangle BCD}}.}[/tex3]
Calculando as áreas:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ABE} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle BCD} \ = \ \dfrac{b^2 \cdot \sqrt{3}}{4}, A_{\triangle ABC}\ = \ \dfrac{a \cdot b \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{a\cdot b \cdot \sqrt{3}}{4}}[/tex3]
.
Logo, a área total é:
[tex3]\mathsf{A_{ACDE} \ = \ \dfrac{\overbrace{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}^{l^2} \ \cdot \sqrt{3}}{4} \ = \ \boxed{\mathsf{\dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4}}}}[/tex3]
Vou resumir um pouco...
Pelas áreas:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ A_{\triangle EDN} \ - \ A_{\triangle ACM}.}[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_{\triangle ACM} \ = \ \dfrac{(a\ + \ b) \cdot \ \frac{b}{2} \ \cdot \sen(60^\circ)}{2} \ = \ \dfrac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3]
.
Pela lei do cosseno em [tex3]\mathsf{\triangle ABD}[/tex3]
, tem-se: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}}[/tex3]
, e, além disso, sendo [tex3]\mathsf{\alpha \ = \ \measuredangle{BAC}, \cos(\alpha) \ = \ \dfrac{2\cdot a \ - \ b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3]
.
Portanto, [tex3]\mathsf{\sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\sqrt3 \cdot b}{2 \cdot \ (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}[/tex3]
.
Temos então que [tex3]\mathsf{\sen(\measuredangle(\underbrace{EAB}_{= \ 60^\circ}) \ + \ \alpha) \ = \ \sen(60^\circ) \cdot \cos(\alpha) \ + \ \cos(60^\circ) \cdot \sen(\alpha) \ = \ \dfrac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot (\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}.}[/tex3]
Logo:
[tex3]\mathsf{A_{\triangle EDN} \ = \ \dfrac{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b}) \cdot \ \frac{a}{2} \ \cdot \sen(60^\circ \ + \ \alpha)}{2} \ = \ \dfrac{\cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})} \cdot \ a \ \cdot \frac{\ a \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot \cancel{(\sqrt{a^2 \ + \ b^2 \ - \ a\cdot b})}}}{4} \ = \ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}[/tex3]
Por fim, temos:
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \cancelto{\frac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle EDN}} \ - \ \cancelto{\frac{(a \ + \ b) \cdot b \cdot \sqrt{3}}{8}}{A_{\triangle ACM}}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \ - \ \dfrac{\sqrt{3}}{8} \cdot \ \cancelto{l^2}{(a^2 \ + \ b^2 \ + \ a\cdot b)}}[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{A_{ECMN} \ = \ \dfrac{l^2 \cdot \sqrt{3}}{8}}}}[/tex3]
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: Sex 29 Nov, 2019 21:51
por jvmago
Venho trazer uma segunda saída vale ressaltar que sua visão por trigonometria foi brilhante!
Vou usar as mesmas variáveis que você portanto [tex3]AB=a[/tex3]
e [tex3]BC=b[/tex3]
Pela lei dos cossenos no Triângulo [tex3]ABD[/tex3]
temos [tex3]l^2=a^2+b^2+ab[/tex3]
Agora vem o pulo do gato, como [tex3]AbE=AbC=BcD=60[/tex3]
então [tex3]AB//CD[/tex3]
Prolongando [tex3]AE[/tex3]
e [tex3]CD[/tex3]
até que se encontrem em um ponto [tex3]P[/tex3]
temos que pelo paralelismo que [tex3]ABCP[/tex3]
é um paralelogramo tal que [tex3]APC=60[/tex3]
, [tex3]AP=b[/tex3]
e [tex3]PC=a[/tex3]
Note também que o triângulo [tex3]DEP[/tex3]
é equilátero e com isso matamos o problema pois
[tex3]S_x=x=S_{EDP}-S_{PMC}-S_{EDN}[/tex3]
[tex3]x=\frac{(a+b)^2\sqrt 3}{4}-\frac{a(2b+a)\sqrt 3}{4*2}-\frac{b(a+b)\sqrt 3}{4*2}[/tex3]
Simplificando isso temos
[tex3]x=\frac{\sqrt 3(a²+b²+ab)}{8}[/tex3]
[tex3]x=\frac{l^2\sqrt 3}{8}[/tex3]
PIMBADA
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: Sáb 07 Dez, 2019 13:42
por joaopcarv
jvmago, desculpe a demora... e genial a sua resolução, você tem uma visão geométrica incrível!! Essa foi a forma "elegante" de se resolver
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Enviado: Sáb 07 Dez, 2019 14:57
por jvmago
joaopcarv escreveu: ↑Sáb 07 Dez, 2019 13:42
jvmago, desculpe a demora... e genial a sua resolução, você tem uma visão geométrica incrível!! Essa foi a forma "elegante" de se resolver
É muito peruano do diabo no currículum