IME / ITA(Demonstração) Circunferência Tangente internamente 1 Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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(Demonstração) Circunferência Tangente internamente 1

Mensagem não lida por jvmago »

IMG_20191127_215259200.jpg
IMG_20191127_215259200.jpg (33.21 KiB) Exibido 1309 vezes
Eu comentei sobre teorema no problema do Flávio viewtopic.php?f=2&t=77933 portanto eu vou demonstra-lo e resolver a parte chave do MESMO.

Comecemos chamando BP=a

Observando a imagem chamaremos de O o centro da circunferência maior de raio R e a menor terá raio r.

Comecemos traçando o simétrico N' do Ponto N pois podemos garantir que existe um segmento AN=AN' já que N é ponto de tangência.

Tracemos as perpendiculares OP=ON'= r e OQ=a

Trace agora AO e BM note que B,O,M são colineares por M ser ponto de tangência agora é só brilhantismo aplicando Pitágoras no triângulo BPO temos :

BO²=(R-r)²=a²+r² (guarde isso)

Sabemos pa figura que AQ=R-r então noss triângulos AQO e OAN' aplique Pitágoras e teremos:

(R-r)²+a²=AO²=r²+x²
(R-r)²+a²=r²+x² usando a primeira informação

(a²+r²)+a²=r²+x² tal que

X=a√2

PIMBADA



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Re: (Demonstração) Circunferência Tangente internamente 1

Mensagem não lida por jvmago »

Deixo um desafio, qual será o valor da tangênte se a circunferência for tangênte a um segmento perpendicular ao diâmetro que parte o raio em duas partes iguais?



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Re: (Demonstração) Circunferência Tangente internamente 1

Mensagem não lida por Playercasual »

A resposta seria √3?
Fiz um triângulo ABC com hipotenusa 2R,cateto adjacente r e cateto oposto x.
X/2R=sena
R/2R=cosa
Logo cosa=1/2(o ângulo pode ser 60° ou 300°)
TG de 60:√3
Acredito que cometi algum erro de interpretação,mas acredito que é assim.



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Re: (Demonstração) Circunferência Tangente internamente 1

Mensagem não lida por jvmago »

Playercasual escreveu:
Qui 28 Nov, 2019 01:04
A resposta seria √3?
Fiz um triângulo ABC com hipotenusa 2R,cateto adjacente r e cateto oposto x.
X/2R=sena
R/2R=cosa
Logo cosa=1/2(o ângulo pode ser 60° ou 300°)
TG de 60:√3
Acredito que cometi algum erro de interpretação,mas acredito que é assim.

Imagine que o segmento BC seja perpendicular ao ponto médio do raio e tenha a mesma configuração do desenho. Aí determine o valor de x



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