IME / ITA ⇒ Sequência e Trigonometria Tópico resolvido

[Hanon]

Para qualquer número inteiro [tex3]k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k[/tex3]

, seja [tex3]a_k=\cos\(\frac{k\pi}{7}\)+i\sen\(\frac{k\pi}{7}\)[/tex3]

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[tex3]a_k=\cos\(\frac{k\pi}{7}\)+i\sen\(\frac{k\pi}{7}\)[/tex3]

, onde [tex3]\sqrt{-1}=i[/tex3]

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[tex3]\sqrt{-1}=i[/tex3]

, então qual o valor da expressão:
[tex3]\frac{\sum_{k=1}^{12}{|a_{k+1}-a_k|}}{\sum_{k=1}^{3}{|a_{4k-1}-a_{4k-2}|}}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sum_{k=1}^{12}{|a_{k+1}-a_k|}}{\sum_{k=1}^{3}{|a_{4k-1}-a_{4k-2}|}}[/tex3]

[Ittalo25]

[tex3]|a_{k+1}-a_k| =\sqrt{(\cos\(\frac{(k+1)\pi}{7}\)-\cos\(\frac{k\pi}{7}\))^2 + (\sen\(\frac{(k+1)\pi}{7}\)-\sen\(\frac{k\pi}{7}\))^2} =[/tex3]

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[tex3]|a_{k+1}-a_k| =\sqrt{(\cos\(\frac{(k+1)\pi}{7}\)-\cos\(\frac{k\pi}{7}\))^2 + (\sen\(\frac{(k+1)\pi}{7}\)-\sen\(\frac{k\pi}{7}\))^2} =[/tex3]

[tex3]\sqrt{2-2\cos\(\frac{(k+1)\pi}{7}-\frac{k\pi}{7}\)}=[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2-2\cos\(\frac{(k+1)\pi}{7}-\frac{k\pi}{7}\)}=[/tex3]

[tex3]\sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}[/tex3]

Da mesma forma:

[tex3]|a_{4k-1}-a_{4k-2}|=\sqrt{2 - 2cos\left(\frac{(4k-1)\pi}{7}-\frac{(4k-2)\pi}{7}\right)} = \sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}[/tex3]

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[tex3]|a_{4k-1}-a_{4k-2}|=\sqrt{2 - 2cos\left(\frac{(4k-1)\pi}{7}-\frac{(4k-2)\pi}{7}\right)} = \sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}[/tex3]

Ou seja: [tex3]\frac{\sum_{k=1}^{12}{|a_{k+1}-a_k|}}{\sum_{k=1}^{3}{|a_{4k-1}-a_{4k-2}|}} = \frac{12\sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}}{3\sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}} = \boxed {4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sum_{k=1}^{12}{|a_{k+1}-a_k|}}{\sum_{k=1}^{3}{|a_{4k-1}-a_{4k-2}|}} = \frac{12\sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}}{3\sqrt{2-2\cos\(\frac{\pi}{7}\)}} = \boxed {4}[/tex3]