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Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos
Enviado: Sex 08 Nov, 2019 19:53
por MateusQqMD
Cinco números distintos são escolhidos aleatoriamente entre [tex3]\{10,11, ..., 99\}.[/tex3]
Qual é a probabilidade de haver pelo menos dois entre os números escolhidos cuja diferença é 1?
Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos
Enviado: Sex 08 Nov, 2019 20:33
por csmarcelo
Total de escolhas: [tex3]C^{99-10+1}_5=C^{90}_5[/tex3]
Agora, imaginando que os números são escolhidos em ordem crescente, se
1) [tex3]x_1[/tex3]
é a quantidade de números antes do primeiro número escolhido.
2) [tex3]x_2[/tex3]
é a quantidade de números entre os primeiro e segundo números escolhidos.
3) [tex3]x_3[/tex3]
é a quantidade de números entre os segundo e terceiro números escolhidos.
...
6) [tex3]x_6[/tex3]
é a quantidade de números após o último número escolhido.
Então,
[tex3]x_1+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)+(x_5+1)+x_6=85[/tex3]
Portanto,
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=81[/tex3]
O número de soluções inteiras não negativas da equação é [tex3]C^{81+6-1}_{81}=\underbrace{C^{86}_{81}=C^{86}_{5}}_{\text{apenas para ficar exatamente como no gabarito}}[/tex3]
Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos
Enviado: Sex 08 Nov, 2019 20:38
por csmarcelo
Opa, é óbvio falar isso, mas errei na enumeração. Na verdade, temos [tex3]x_2+1[/tex3]
em (2), [tex3]x_3+1[/tex3]
em (3), e assim por diante, até [tex3]x_5[/tex3]
, que são justamente as parcelas da equação que segue.
Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos
Enviado: Sex 08 Nov, 2019 20:45
por MateusQqMD
Muito bom, Marcelo!
Vou deixar minha solução como curiosidade (que acaba sendo a mesma coisa que a sua) pois vi esse problema e lembrei de um tópico recente daqui:
viewtopic.php?t=74266
Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos
Enviado: Sex 08 Nov, 2019 20:47
por csmarcelo
Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos
Enviado: Sáb 09 Nov, 2019 09:25
por MateusQqMD