IME / ITAProbabilidade de Números Inteiros Sucessivos Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Nov 2019 08 19:53

Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos

Mensagem não lida por MateusQqMD » Sex 08 Nov, 2019 19:53

Cinco números distintos são escolhidos aleatoriamente entre [tex3]\{10,11, ..., 99\}.[/tex3] Qual é a probabilidade de haver pelo menos dois entre os números escolhidos cuja diferença é 1?
GABARITO

[tex3]1 - {86 \choose 5}/{90 \choose 5} \approx 0.2076[/tex3]




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csmarcelo
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Nov 2019 08 20:33

Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos

Mensagem não lida por csmarcelo » Sex 08 Nov, 2019 20:33

Total de escolhas: [tex3]C^{99-10+1}_5=C^{90}_5[/tex3]

Agora, imaginando que os números são escolhidos em ordem crescente, se

1) [tex3]x_1[/tex3] é a quantidade de números antes do primeiro número escolhido.
2) [tex3]x_2[/tex3] é a quantidade de números entre os primeiro e segundo números escolhidos.
3) [tex3]x_3[/tex3] é a quantidade de números entre os segundo e terceiro números escolhidos.
...
6) [tex3]x_6[/tex3] é a quantidade de números após o último número escolhido.

Então,

[tex3]x_1+(x_2+1)+(x_3+1)+(x_4+1)+(x_5+1)+x_6=85[/tex3]

Portanto,

[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=81[/tex3]

O número de soluções inteiras não negativas da equação é [tex3]C^{81+6-1}_{81}=\underbrace{C^{86}_{81}=C^{86}_{5}}_{\text{apenas para ficar exatamente como no gabarito}}[/tex3]




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Nov 2019 08 20:38

Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos

Mensagem não lida por csmarcelo » Sex 08 Nov, 2019 20:38

Opa, é óbvio falar isso, mas errei na enumeração. Na verdade, temos [tex3]x_2+1[/tex3] em (2), [tex3]x_3+1[/tex3] em (3), e assim por diante, até [tex3]x_5[/tex3] , que são justamente as parcelas da equação que segue.
Última edição: csmarcelo (Sex 08 Nov, 2019 20:39). Total de 1 vez.



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Nov 2019 08 20:45

Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos

Mensagem não lida por MateusQqMD » Sex 08 Nov, 2019 20:45

Muito bom, Marcelo!

Vou deixar minha solução como curiosidade (que acaba sendo a mesma coisa que a sua) pois vi esse problema e lembrei de um tópico recente daqui: viewtopic.php?t=74266

spoiler

Pelo Primeiro Lema de Kaplansky, podemos escolher [tex3]5[/tex3] números de maneira que não haja números consecutivos entre eles de [tex3]f(90,5) = C^5_{90-5+1} = \binom{86}{5}[/tex3] modos. O espaço amostral é dado por [tex3]C_{90}^5.[/tex3] Pensando na probabilidade complementar, encontramos [tex3]1 - {86 \choose 5}/{90 \choose 5} \approx 0.2076.[/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Sex 08 Nov, 2019 20:45). Total de 1 vez.
Razão: arrumar texto



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Nov 2019 08 20:47

Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos

Mensagem não lida por csmarcelo » Sex 08 Nov, 2019 20:47

Você nunca lembra da fórmula do número de soluções inteiras positivas e eu nunca lembro do Primeiro Lema de Kaplansky. :lol: :lol: :lol:



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Re: Probabilidade de Números Inteiros Sucessivos

Mensagem não lida por MateusQqMD » Sáb 09 Nov, 2019 09:25

Hahaaaa 😁😁😁

⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀




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