IME / ITACombinatória Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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csmarcelo
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Nov 2019 08 12:01

Re: Combinatória

Mensagem não lida por csmarcelo » Sex 08 Nov, 2019 12:01

E porque fazer [tex3]x=x'+1[/tex3] , etc? Basta trabalhar com a fórmula do número de soluções inteiras positivas. É até melhor, porque [tex3]p[/tex3] será sempre igual a 1, não havendo necessidade de conta alguma.




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MateusQqMD
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Nov 2019 08 12:05

Re: Combinatória

Mensagem não lida por MateusQqMD » Sex 08 Nov, 2019 12:05

Eu não consigo guardar essa fórmula. Toda vida que aparece esse tipo de problema faço uma mudança de variável, transformando a incógnita inicial em outra [tex3](x^{'}),[/tex3] daí, quando [tex3]x^{'}[/tex3] assume valor zero, [tex3]x[/tex3] assume valor igual a [tex3]1,[/tex3] pois [tex3]x = x^{'} + 1.[/tex3] E contar soluções inteiras não negativas eu sei, pq basta a gente pensar em permutação com elementos repetidos.

Acho mais intuito.




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undefinied3
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Nov 2019 08 14:38

Re: Combinatória

Mensagem não lida por undefinied3 » Sex 08 Nov, 2019 14:38

[tex3]x>y \rightarrow x=y+x'[/tex3]

[tex3]x'+z+w+2y=26 \rightarrow x'+z+w=26-2y[/tex3]
Com [tex3]x', z, w, y>0[/tex3]

Cujo número de soluções é [tex3]C_{26-2y-1}^{3-1}=C_{25-2y}^{2}[/tex3] . Iterando ao longo de todo y:
[tex3]S=C_{23}^2+C_{21}^2+...+C_{3}^{2}=1078[/tex3]


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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undefinied3
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Re: Combinatória

Mensagem não lida por undefinied3 » Sex 08 Nov, 2019 22:44

Tem uma outra solução utilizando funções geradoras, mas eu nunca consegui fazer uma solução com isso ser mais rápida ou fácil.

[tex3]x'+2y+z+w=26[/tex3]
[tex3]f_{x'}=a+a^2+...=\frac{a}{1-a}[/tex3]
[tex3]f_{2y}=a^2+a^4+a^6+...=\frac{a^2}{1-a^2}[/tex3]
[tex3]f_z=\frac{a}{1-a}[/tex3]
[tex3]f_w=\frac{a}{1-a}[/tex3]

Então fazemos:
[tex3]F=f_{x'}f_{2y}f_zf_w=\frac{a^5}{(1-a)^3(1-a^2)}=\frac{a^5}{(1-a)^4(1+a)}[/tex3]

E é a partir daqui que eu acho esse método zoado, pelo menos pra problemas assim mais simples.

Temos que abrir em frações parciais. Vou pular direto pra expansão:

[tex3]=-\frac{1}{16(1+a)}-\frac{49}{16(1-a)}+\frac{31}{8(1-a)^2}-\frac{9}{4(1-a)^3}+\frac{1}{2(1-a)^4}+1[/tex3]

Aí utilizamos o fato que [tex3]\frac{1}{(1-x)^{m+1}}=\sum_{n=0}^{\infty} {n+m \choose n}x^n[/tex3] :

[tex3]-\frac{1}{16}\sum(-1)^na^n-\frac{49}{16}\sum a^n+\frac{31}{8}\sum {n+1 \choose n} a^n-\frac{9}{4}\sum {n+2 \choose n}a^n+\frac{1}{2}\sum {n+3 \choose n}a^n+1=[/tex3]
[tex3]\sum(\frac{(-1)^{n+1}}{16}-\frac{49}{16}+\frac{31}{8}{n+1 \choose n}-\frac{9}{4} {n+2 \choose n}+\frac{1}{2} {n+3 \choose n})a^n+1[/tex3]

Estamos interessados no coeficiente que acompanha [tex3]a^{26}[/tex3] , então substituimos [tex3]n=26[/tex3] na fórmula do coeficiente, atentando-se ao fato que o [tex3]+1[/tex3] no final só altera o coeficiente de n=0, então devemos ignorá-lo:
[tex3]\frac{(-1)^{27}}{16}-\frac{49}{16}+\frac{31}{8}{27 \choose 26}-\frac{9}{4} {28 \choose 26}+\frac{1}{2} {29 \choose 26}=-\frac{1}{16}-\frac{49}{16}+\frac{31*27}{8}-\frac{9*28*27}{4*2*1}+\frac{1*29*28*27}{2*3*2*1}=1078[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Sex 08 Nov, 2019 22:46). Total de 1 vez.


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