IME / ITA ⇒ Combinatória (Rufino) Tópico resolvido

[Deleted User 23699]

De quantas maneiras podemos escrever os números 21, 31, 41, 51, 61, 71 e 81 em série de modo que a soma de todos quatro números consecutivos é divisível por 3?

Resposta

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144

[csmarcelo]

[undefinied3]

Aplicando módulo 3, os números, na ordem dada, deixam resto na divisão por 3 igual a:
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0

Agora verificamos como a soma de 4 números dessa lista pode ser divisível por 3. Os únicos dois jeitos são:

0+1+2+0
2+2+1+1

O problema é que eu não to conseguindo montar nem uma sequência que satisfaça o que ele quer? To esquecendo de algum jeito da soma de quatro desses números dar 3? Alguém consegue montar um exemplo?

[Deleted User 23699]

Aplicando módulo 3, os números, na ordem dada, deixam resto na divisão por 3 igual a:
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0

Olá.
Aplicando módulo 3 obtemos
21, 51 e 81 = 0, chamaremos esse conjunto de x.
31, 61 = 1, conjunto y.
41, 71 = 2, conjunto z

Percebemos que a cada 4 letras, em todas as sequências possíveis, precisamos ter 2 x, 1 y e 1 z, para fechar um multiplo de 3.

Nossas possiveis sequências são, por tentativa e baseado nesse único requisito,

Zxyxzxy
Yxzxyxz
Xzyxxzy
Xyzxxyz
Zyxxzyx
Yzxxyzx

Nos resta, agora, calcular o número de casos possíveis para cada possibilidade.
Como todos os casos são semelhantes, temos que, por ex:
Caso 7: 2 x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 = 24

Como possuímos 6 casos,
N total = 6 x 24 = 144