IME / ITACombinatória (Rufino) Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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Deleted User 23699
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Nov 2019 08 08:06

Combinatória (Rufino)

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

De quantas maneiras podemos escrever os números 21, 31, 41, 51, 61, 71 e 81 em série de modo que a soma de todos quatro números consecutivos é divisível por 3?
Resposta

144




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csmarcelo
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Nov 2019 08 08:56

Re: Combinatória (Rufino)

Mensagem não lida por csmarcelo »

:shock::shock::shock:




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undefinied3
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Nov 2019 08 14:56

Re: Combinatória (Rufino)

Mensagem não lida por undefinied3 »

Aplicando módulo 3, os números, na ordem dada, deixam resto na divisão por 3 igual a:
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0

Agora verificamos como a soma de 4 números dessa lista pode ser divisível por 3. Os únicos dois jeitos são:

0+1+2+0
2+2+1+1

O problema é que eu não to conseguindo montar nem uma sequência que satisfaça o que ele quer? To esquecendo de algum jeito da soma de quatro desses números dar 3? Alguém consegue montar um exemplo?


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Autor do Tópico
Deleted User 23699
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Nov 2019 09 14:51

Re: Combinatória (Rufino)

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

undefinied3 escreveu:
Sex 08 Nov, 2019 14:56
Aplicando módulo 3, os números, na ordem dada, deixam resto na divisão por 3 igual a:
0, 1, 2, 0, 1, 2, 0
Olá.
Aplicando módulo 3 obtemos
21, 51 e 81 = 0, chamaremos esse conjunto de x.
31, 61 = 1, conjunto y.
41, 71 = 2, conjunto z

Percebemos que a cada 4 letras, em todas as sequências possíveis, precisamos ter 2 x, 1 y e 1 z, para fechar um multiplo de 3.

Nossas possiveis sequências são, por tentativa e baseado nesse único requisito,

Zxyxzxy
Yxzxyxz
Xzyxxzy
Xyzxxyz
Zyxxzyx
Yzxxyzx

Nos resta, agora, calcular o número de casos possíveis para cada possibilidade.
Como todos os casos são semelhantes, temos que, por ex:
Caso 7: 2 x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 = 24

Como possuímos 6 casos,
N total = 6 x 24 = 144




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