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Mensagem não lidapor **Flavio2020** » 08 Nov 2019, 07:49 · Mensagem não lida por **Flavio2020** » 08 Nov 2019, 07:49

No gráfico, ABCD é um rombo.Que ponto notável é H do triângulo CDE?

: !!!.PNG (21 KiB) Exibido 1238 vezes

a)baricentro
b)incentro
c)ortocentro
d)circuncentro
e)excentro

Resposta

c

Mensagem não lidapor **lookez** » 23 Nov 2019, 05:59 · Mensagem não lida por **lookez** » 23 Nov 2019, 05:59

Seja [tex3]P[/tex3] o centro do losango [tex3]ABCD[/tex3] , sabemos que por ser losango (sinônimo de rombo) [tex3]\overline{AC}\perp\overline{BD}[/tex3] , então [tex3]P[/tex3] é também pé da altura do [tex3]\triangle CDE[/tex3] relativa ao vértice [tex3]C.[/tex3]

e) Impossível ser exincentro pois [tex3]H[/tex3] é interno à [tex3]\triangle CDE[/tex3]

b) A bissetriz interna relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle CDB[/tex3] é [tex3]\overline{CP}[/tex3] pois [tex3]\triangle CDB[/tex3] é isósceles [tex3](\overline{CB}=\overline{CD}\text{ lados do losango}),[/tex3] então com certeza a bissetriz interna no vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle CDE[/tex3] está mais "para baixo" pois [tex3]\angle DCE < \angle DCB[/tex3] , de modo que seu pé no lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] seria [tex3]P'[/tex3] na figura abaixo e não [tex3]P[/tex3] , então [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é bissetriz interna e portanto [tex3]H[/tex3] não pode ser incentro.

: fig.PNG (23.93 KiB) Exibido 1099 vezes

d) Para [tex3]H[/tex3] ser circuncentro [tex3]\overline{CP}[/tex3] deveria ser a mediatriz de [tex3]\overline{DE}[/tex3] , mas sabemos que [tex3]P[/tex3] é ponto médio de [tex3]\overline{BD}[/tex3] (diagonais do losango se cruzam em seus pontos médios perpendicularmente, logo [tex3]\overline{CP}[/tex3] é mediatriz de [tex3]\overline{BD}[/tex3] ), então o ponto médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3] estaria mais a baixo (próximo de [tex3]P'[/tex3] ), assim como sua mediatriz, logo [tex3]H[/tex3] não pode ser circuncentro.

a) Para ser baricentro [tex3]\overline{CP}[/tex3] deveria ser mediana do lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] , mas acabamos de argumentar acima que [tex3]P[/tex3] não é ponto médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3] , então [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é mediana e portanto [tex3]H[/tex3] não é baricentro.

c) Não há nada aparente nos dizendo que [tex3]H[/tex3] não pode ser ortocentro, muito pelo contrário, concluímos no início que [tex3]\overline{CP}[/tex3] é altura
[tex3]\therefore\space\boxed{\text{Letra C}}[/tex3]

Mensagem não lidapor **jvmago** » 23 Nov 2019, 09:39 · Mensagem não lida por **jvmago** » 23 Nov 2019, 09:39

Sua conclusão deixa uma pequena brecha pois teriamos que concluir se este ponto é circuncentro ou Ortocentro. As proporçoes sao importantes mas nem sempre devemos confiar nelas

Mensagem não lidapor **lookez** » 23 Nov 2019, 09:45 · Mensagem não lida por **lookez** » 23 Nov 2019, 09:45

jvmago escreveu: ↑23 Nov 2019, 09:39 Sua conclusão deixa uma pequena brecha pois teriamos que concluir se este ponto é circuncentro ou Ortocentro. As proporçoes sao importantes mas nem sempre devemos confiar nelas

Como assim mestre, meu comentário sobre a letra d não é suficiente? para mim a figura deixa claro que [tex3]\overline{DE}<\overline{DB}[/tex3] , como [tex3]P[/tex3] é médio de [tex3]\overline{DB}[/tex3] com certeza não é médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3] , logo [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é mediatriz do lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] e [tex3]H[/tex3] não pode ser circuncentro certo?

Mensagem não lidapor **jvmago** » 23 Nov 2019, 09:51 · Mensagem não lida por **jvmago** » 23 Nov 2019, 09:51

Então, seguindo esse raciocinio de fato chegamos a resposta mas é interessante demonstrar isso geometricamente alguns problemas podem ser aludidos com essa questão principalmente esses da UN.SM

Mensagem não lidapor **jvmago** » 23 Nov 2019, 09:56 · Mensagem não lida por **jvmago** » 23 Nov 2019, 09:56

: 15745137377872583151704946439676.jpg (31.03 KiB) Exibido 1063 vezes

Mensagem não lidapor **jvmago** » 23 Nov 2019, 10:05 · Mensagem não lida por **jvmago** » 23 Nov 2019, 10:05

Para resolver esse problema e bem tranquilo ao som de https://www.youtube.com/watch?v=MXzKLpY ... EA&index=7 PARTIU

Notamos rapidamente que [tex3]\Delta AED = \Delta ECD[/tex3] então podemos traçar uma nova circunferencia que sera congruente a primeira. Isso ja praticamente mata a questão!

Façamos os angulos [tex3]EcA=a[/tex3] , [tex3]BcE=b[/tex3] e [tex3]DeN=c[/tex3] AGORA ESTA QUASE ACABADO

Tracemos [tex3]EM[/tex3] e teremos rapidamente que [tex3]PmA=90[/tex3] .

Note agora que que os pontos [tex3]P,N[/tex3] pertencem a mediatriz tal que no [tex3]\Delta EPN[/tex3] temos [tex3]c=a+b[/tex3] e acabou pois no [tex3]\Delta NCK[/tex3] temos [tex3]NcD=DcK=a+b[/tex3] e que [tex3]EnP=90-(a+b)[/tex3] portanto [tex3]x=90[/tex3] provando que de fato [tex3]N=H[/tex3] e ortocentro

PIMBADA

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