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b)incentro
c)ortocentro
d)circuncentro
e)excentro
Resposta
c
IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Nov 2019
08
07:49
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
No gráfico, ABCD é um rombo.Que ponto notável é H do triângulo CDE?
a)baricentro
b)incentro
c)ortocentro
d)circuncentro
e)excentro
c
b)incentro
c)ortocentro
d)circuncentro
e)excentro
c
Nov 2019
23
05:59
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Seja [tex3]P[/tex3]
o centro do losango [tex3]ABCD[/tex3]
, sabemos que por ser losango (sinônimo de rombo) [tex3]\overline{AC}\perp\overline{BD}[/tex3]
, então [tex3]P[/tex3]
é também pé da altura do [tex3]\triangle CDE[/tex3]
relativa ao vértice [tex3]C.[/tex3]
e) Impossível ser exincentro pois [tex3]H[/tex3] é interno à [tex3]\triangle CDE[/tex3]
b) A bissetriz interna relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle CDB[/tex3] é [tex3]\overline{CP}[/tex3] pois [tex3]\triangle CDB[/tex3] é isósceles [tex3](\overline{CB}=\overline{CD}\text{ lados do losango}),[/tex3] então com certeza a bissetriz interna no vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle CDE[/tex3] está mais "para baixo" pois [tex3]\angle DCE < \angle DCB[/tex3] , de modo que seu pé no lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] seria [tex3]P'[/tex3] na figura abaixo e não [tex3]P[/tex3] , então [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é bissetriz interna e portanto [tex3]H[/tex3] não pode ser incentro.
d) Para [tex3]H[/tex3]
ser circuncentro [tex3]\overline{CP}[/tex3]
deveria ser a mediatriz de [tex3]\overline{DE}[/tex3]
, mas sabemos que [tex3]P[/tex3]
é ponto médio de [tex3]\overline{BD}[/tex3]
(diagonais do losango se cruzam em seus pontos médios perpendicularmente, logo [tex3]\overline{CP}[/tex3]
é mediatriz de [tex3]\overline{BD}[/tex3]
), então o ponto médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3]
estaria mais a baixo (próximo de [tex3]P'[/tex3]
), assim como sua mediatriz, logo [tex3]H[/tex3]
não pode ser circuncentro.
a) Para ser baricentro [tex3]\overline{CP}[/tex3] deveria ser mediana do lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] , mas acabamos de argumentar acima que [tex3]P[/tex3] não é ponto médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3] , então [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é mediana e portanto [tex3]H[/tex3] não é baricentro.
c) Não há nada aparente nos dizendo que [tex3]H[/tex3] não pode ser ortocentro, muito pelo contrário, concluímos no início que [tex3]\overline{CP}[/tex3] é altura
[tex3]\therefore\space\boxed{\text{Letra C}}[/tex3]
e) Impossível ser exincentro pois [tex3]H[/tex3] é interno à [tex3]\triangle CDE[/tex3]
b) A bissetriz interna relativa ao vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle CDB[/tex3] é [tex3]\overline{CP}[/tex3] pois [tex3]\triangle CDB[/tex3] é isósceles [tex3](\overline{CB}=\overline{CD}\text{ lados do losango}),[/tex3] então com certeza a bissetriz interna no vértice [tex3]C[/tex3] do [tex3]\triangle CDE[/tex3] está mais "para baixo" pois [tex3]\angle DCE < \angle DCB[/tex3] , de modo que seu pé no lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] seria [tex3]P'[/tex3] na figura abaixo e não [tex3]P[/tex3] , então [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é bissetriz interna e portanto [tex3]H[/tex3] não pode ser incentro.
- fig.PNG (23.93 KiB) Exibido 1091 vezes
a) Para ser baricentro [tex3]\overline{CP}[/tex3] deveria ser mediana do lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] , mas acabamos de argumentar acima que [tex3]P[/tex3] não é ponto médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3] , então [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é mediana e portanto [tex3]H[/tex3] não é baricentro.
c) Não há nada aparente nos dizendo que [tex3]H[/tex3] não pode ser ortocentro, muito pelo contrário, concluímos no início que [tex3]\overline{CP}[/tex3] é altura
[tex3]\therefore\space\boxed{\text{Letra C}}[/tex3]
Nov 2019
23
09:39
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Sua conclusão deixa uma pequena brecha pois teriamos que concluir se este ponto é circuncentro ou Ortocentro. As proporçoes sao importantes mas nem sempre devemos confiar nelas
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2019
23
09:45
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Como assim mestre, meu comentário sobre a letra d não é suficiente? para mim a figura deixa claro que [tex3]\overline{DE}<\overline{DB}[/tex3] , como [tex3]P[/tex3] é médio de [tex3]\overline{DB}[/tex3] com certeza não é médio de [tex3]\overline{DE}[/tex3] , logo [tex3]\overline{CP}[/tex3] não é mediatriz do lado [tex3]\overline{DE}[/tex3] e [tex3]H[/tex3] não pode ser circuncentro certo?
Nov 2019
23
09:51
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Então, seguindo esse raciocinio de fato chegamos a resposta mas é interessante demonstrar isso geometricamente alguns problemas podem ser aludidos com essa questão principalmente esses da UN.SM
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2019
23
09:56
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
- 15745137377872583151704946439676.jpg (31.03 KiB) Exibido 1055 vezes
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Nov 2019
23
10:05
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Para resolver esse problema e bem tranquilo ao som de https://www.youtube.com/watch?v=MXzKLpY ... EA&index=7 PARTIU
Notamos rapidamente que [tex3]\Delta AED = \Delta ECD[/tex3] então podemos traçar uma nova circunferencia que sera congruente a primeira. Isso ja praticamente mata a questão!
Façamos os angulos [tex3]EcA=a[/tex3] , [tex3]BcE=b[/tex3] e [tex3]DeN=c[/tex3] AGORA ESTA QUASE ACABADO
Tracemos [tex3]EM[/tex3] e teremos rapidamente que [tex3]PmA=90[/tex3] .
Note agora que que os pontos [tex3]P,N[/tex3] pertencem a mediatriz tal que no [tex3]\Delta EPN[/tex3] temos [tex3]c=a+b[/tex3] e acabou pois no [tex3]\Delta NCK[/tex3] temos [tex3]NcD=DcK=a+b[/tex3] e que [tex3]EnP=90-(a+b)[/tex3] portanto [tex3]x=90[/tex3] provando que de fato [tex3]N=H[/tex3] e ortocentro
PIMBADA
Notamos rapidamente que [tex3]\Delta AED = \Delta ECD[/tex3] então podemos traçar uma nova circunferencia que sera congruente a primeira. Isso ja praticamente mata a questão!
Façamos os angulos [tex3]EcA=a[/tex3] , [tex3]BcE=b[/tex3] e [tex3]DeN=c[/tex3] AGORA ESTA QUASE ACABADO
Tracemos [tex3]EM[/tex3] e teremos rapidamente que [tex3]PmA=90[/tex3] .
Note agora que que os pontos [tex3]P,N[/tex3] pertencem a mediatriz tal que no [tex3]\Delta EPN[/tex3] temos [tex3]c=a+b[/tex3] e acabou pois no [tex3]\Delta NCK[/tex3] temos [tex3]NcD=DcK=a+b[/tex3] e que [tex3]EnP=90-(a+b)[/tex3] portanto [tex3]x=90[/tex3] provando que de fato [tex3]N=H[/tex3] e ortocentro
PIMBADA
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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