IME / ITA ⇒ (IME/ITA) Simulado - Geometria Plana Tópico resolvido

[oilut]

Sabendo-se que, ABCD é um quadrado de lado 2, E é o ponto médio de AB, F é o ponto médio de BC. O ponto I é a intersecção de DE e AF, o ponto H é a intersecção de BD e AF. Determine a área do quadrilátero BEIH.

A.( ) 1/3
B.( ) 2/5
C.( ) 7/15
D.( ) 8/15
E.( ) 3/5

[rodBR]

Solução Via Geometria Analítica:
Sejam [tex3]\overline{BC}, \ \overline{BA}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}, \ \overline{BA}[/tex3]

os eixos das abscissa e ordenada do plano cartesiano, sendo [tex3]B(0,0)[/tex3]

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[tex3]B(0,0)[/tex3]

(origem do plano).
Da reta [tex3]BD[/tex3]

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[tex3]BD[/tex3]

vamos utilizar as coordenadas do ponto [tex3]D(2,2)[/tex3]

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[tex3]D(2,2)[/tex3]

e [tex3]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-0}{2-0}=1[/tex3]

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[tex3]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-0}{2-0}=1[/tex3]

, logo a equação desta reta é:
[tex3]y=mx+b\\
y=1\cdot x+0\\
y=x[/tex3]

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[tex3]y=mx+b\\
y=1\cdot x+0\\
y=x[/tex3]

Da reta [tex3]\overline{ED}[/tex3]

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[tex3]\overline{ED}[/tex3]

vamos utilizar os pontos [tex3]E(0,1), \ D(2,2)[/tex3]

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[tex3]E(0,1), \ D(2,2)[/tex3]

, ou seja, [tex3]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-1}{2-0}=\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-1}{2-0}=\frac{1}{2}[/tex3]

assim, temos:
[tex3]y=\frac{1}{2}\cdot x+1[/tex3]

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[tex3]y=\frac{1}{2}\cdot x+1[/tex3]

Da reta [tex3]\overline{FA}[/tex3]

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[tex3]\overline{FA}[/tex3]

vamos utilizar os pontos [tex3]F(1,0), \ A(0,2)[/tex3]

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[tex3]F(1,0), \ A(0,2)[/tex3]

, ou seja, [tex3]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-0}{0-1}=-2[/tex3]

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[tex3]m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2-0}{0-1}=-2[/tex3]

, logo a equação desta reta é:
[tex3]y=-2x+2[/tex3]

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[tex3]y=-2x+2[/tex3]

Então, temos que:
[tex3]H=\overline{BD}\ \cap \ \overline{FA}\\
-2x+2=x\\
\boxed{x=\frac{2}{3}}\implies \boxed{y=\frac{2}{3}} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{H\(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)}}\\
\\
I=\overline{ED} \ \cap \overline{FA}\\
\frac{1}{2}\cdot x+1=-2x+2\\
x=\frac{2}{5}\implies y=\frac{11}{10}\Leftrightarrow \boxed{\boxed{I\(\frac{2}{5},\frac{6}{5}\)}}[/tex3]

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[tex3]H=\overline{BD}\ \cap \ \overline{FA}\\
-2x+2=x\\
\boxed{x=\frac{2}{3}}\implies \boxed{y=\frac{2}{3}} \Leftrightarrow \boxed{\boxed{H\(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)}}\\
\\
I=\overline{ED} \ \cap \overline{FA}\\
\frac{1}{2}\cdot x+1=-2x+2\\
x=\frac{2}{5}\implies y=\frac{11}{10}\Leftrightarrow \boxed{\boxed{I\(\frac{2}{5},\frac{6}{5}\)}}[/tex3]

Daí, as coordenas dos triângulos [tex3]\Delta BEH, \Delta EIH[/tex3]

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[tex3]\Delta BEH, \Delta EIH[/tex3]

são respectivamente: [tex3]B(0,0), \ E(0,1), \ H\(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\) \ \ e \ \ E(0,1), \ I\(\frac{2}{5},\frac{6}{5}\), \ H\(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\)[/tex3]

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[tex3]B(0,0), \ E(0,1), \ H\(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\) \ \ e \ \ E(0,1), \ I\(\frac{2}{5},\frac{6}{5}\), \ H\(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\)[/tex3]

Da Geometria Analítica, sabemos que [tex3]A=\frac{|det|}{2}[/tex3]

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[tex3]A=\frac{|det|}{2}[/tex3]

. Assim, a área do quadilátero [tex3]BEIH[/tex3]

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[tex3]BEIH[/tex3]

,é:
[tex3]A_{BEIH}=A_{BEH}+A_{EIH}\\
A_{BEIH}=\frac{|det_{BEH}|}{2}+\frac{|det_{EIH}|}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{|det_{BEH}|+|det_{EIH}|}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{|\frac{2}{3}|+|-\frac{4}{15}|}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{15}}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{\frac{14}{15}}{2}\\
\boxed{\boxed{\color{red}A_{BEIH}=\frac{7}{15}u.a}}\implies alternativa \ (c)\\
[/tex3]

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[tex3]A_{BEIH}=A_{BEH}+A_{EIH}\\
A_{BEIH}=\frac{|det_{BEH}|}{2}+\frac{|det_{EIH}|}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{|det_{BEH}|+|det_{EIH}|}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{|\frac{2}{3}|+|-\frac{4}{15}|}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{\frac{2}{3}+\frac{4}{15}}{2}\\
A_{BEIH}=\frac{\frac{14}{15}}{2}\\
\boxed{\boxed{\color{red}A_{BEIH}=\frac{7}{15}u.a}}\implies alternativa \ (c)\\
[/tex3]

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