IME / ITA ⇒ ITA (2018) - Matriz, Determinante e Polinômio Tópico resolvido

[LostWalker]

ITA (2018) - Questão 15
Considere a matriz [tex3]
\begin{bmatrix}
1&x&x^2&x^3\\
1&2&3&4\\
-1&3&4&5\\
-2&2&1&1
\end{bmatrix}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]
\begin{bmatrix}
1&x&x^2&x^3\\
1&2&3&4\\
-1&3&4&5\\
-2&2&1&1
\end{bmatrix}
[/tex3]

, [tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x\in\mathbb{R}[/tex3]

. Se o polinômio [tex3]p(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)[/tex3]

é dado por [tex3]p(x)=\det A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=\det A[/tex3]

, então o produto das raízes de [tex3]p(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)[/tex3]

é:

A. [tex3]\frac12[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac12[/tex3]

B. [tex3]\frac13[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac13[/tex3]

C. [tex3]\frac15[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac15[/tex3]

D. [tex3]\frac17[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac17[/tex3]

E. [tex3]\frac1{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac1{11}[/tex3]

---

Resposta

---

D

---

Gostaria de compartilhar essa questões, ela aborda diversos conceitos numa única pergunta, divirtam-se

[AlexandreHDK]

Usando Laplace na primeira linha:
[tex3]p(x)=\det A=1.\det\begin{bmatrix}2&3&4\\3&4&5\\2&1&1\end{bmatrix}-x.\det\begin{bmatrix}1&3&4\\-1&4&5\\-2&1&1\end{bmatrix}+x^2.\det\begin{bmatrix}1&2&4\\-1&3&5\\-2&2&1\end{bmatrix}-x^3.\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&3&4\\-2&2&1\end{bmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=\det A=1.\det\begin{bmatrix}2&3&4\\3&4&5\\2&1&1\end{bmatrix}-x.\det\begin{bmatrix}1&3&4\\-1&4&5\\-2&1&1\end{bmatrix}+x^2.\det\begin{bmatrix}1&2&4\\-1&3&5\\-2&2&1\end{bmatrix}-x^3.\det\begin{bmatrix}1&2&3\\-1&3&4\\-2&2&1\end{bmatrix}[/tex3]

[tex3]= 1.(8+30+12-32-10-9)-x.(4-30-4+32-5+3)+x^2.(3-20-8+24-10+2)-x^3.(3-16-6+18-8+2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= 1.(8+30+12-32-10-9)-x.(4-30-4+32-5+3)+x^2.(3-20-8+24-10+2)-x^3.(3-16-6+18-8+2)[/tex3]

[tex3]= 1.(-1) -x.0+x^2.(-9)-x^3.(-7)=7x^3-9x^2-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]= 1.(-1) -x.0+x^2.(-9)-x^3.(-7)=7x^3-9x^2-1[/tex3]

Pelas relações de Girard, [tex3]x_1.x_2.x_3=-\frac{(-1)}{7}=\frac{1}{7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1.x_2.x_3=-\frac{(-1)}{7}=\frac{1}{7}[/tex3]

, e eu calculei alguns determinantes à toa, haha.

[Iasmim]

Eu n poderia usar o teorema de Chio aí ?

[LostWalker]

Iasmim, poderia sim. Quando se trabalha com matrizes, existem diferentes meios para reduzi-las, tornando-se uma parte bem opcional, sendo uma questão de escolher um meio que você enxerga ser mais dinâmico. No caso dessa conta em específica, a forma mais rápida de responder seria calcular por Laplace (como foi feito), mas você poderia ignorar os termos e só calcular os cofatores de interesse.

Considerando Laplace na primeira linha, o resultado será na estrutura:

[tex3]p(x)=-A_{14}x^3+A_{13}x^2-A_{12}x+A_{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p(x)=-A_{14}x^3+A_{13}x^2-A_{12}x+A_{11}[/tex3]

Considerando as relações de Girard, o produto das raízes é:

[tex3]x_1x_2x_3=-\frac{A_{11}}{-A_{14}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1x_2x_3=-\frac{A_{11}}{-A_{14}}[/tex3]

[tex3]x_1x_2x_3=\frac{A_{11}}{A_{14}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1x_2x_3=\frac{A_{11}}{A_{14}}[/tex3]

Ou seja, todo o cálculo do determinante de uma matriz 4x4 foi para o calculo de duas matrizes 3x3, relativamente mais fáceis de calcular.

Dessa forma, você responderia a questão visando as relações de Girard num exercício de Matrizes, um pensamento muito inteligente e dinâmico.