Ensino MédioEquação Trigonométrica Tópico resolvido

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Babi123
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Out 2019 09 20:13

Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por Babi123 »

Se a soma de todas as soluções da equação [tex3]8\cos(x)\cdot\(\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)-\frac{1}{2}\)=1[/tex3] em [tex3][0,\pi][/tex3] for [tex3]k\pi[/tex3] , então [tex3]k[/tex3] é igual a:
a) [tex3]\frac{20}{9}[/tex3]
b) [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]
c) [tex3]\frac{13}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{8}{9}[/tex3]

Última edição: Babi123 (Qua 09 Out, 2019 20:14). Total de 1 vez.



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LostWalker
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Out 2019 09 21:36

Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker »

Não consegui concluir, mas vou deixar o caminho que consegui

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Sobretudo, você precisa de conhecimento nas Fórmulas de Prostaférese e nas Fórmulas de Werner (Que no caso é a mesma, mas ao contrário)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Fórmulas de Prostaférese

[tex3]\sin p+\sin q=2\cdot\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\\sin p-\sin q=2\cdot\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\\\cos p+\cos q=2\cdot\cos \left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot\cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\\cos p-\cos q=-2\cdot\sin \left(\frac{p+q}{2}\right)\cdot\sin \left(\frac{p-q}{2}\right)[/tex3]


Fórmulas de Werner

[tex3]\sin a\cdot\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin(a+b)+\sin(a-b)\right]\\\sin b\cdot\cos a=\frac{1}{2}\left[\sin(a+b)-\sin(a-b)\right]\\\color{Green}\cos a\cdot\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]\\\sin a\cdot\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right][/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Usaremos a que está Marcada, logo:

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\frac{1}{2}\left[\cos\(\frac{\pi}{3}\)+\cos(2x)\right]}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\frac{1}{2}\left[{\color{Orange}\cos\(\frac{\pi}{3}\)}+\cos(2x)\right]}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\frac{1}{2}\left[{\color{Orange}\frac{1}{2}}+\cos(2x)\right]}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]

[tex3]{\color{Red}\cancel{\color{Black}8}^4}\cos(x)\cdot\({{\frac{1}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}2}}}}\cos(2x)}-\frac{1}{{\color{Red}\cancel{\color{Black}4}^2}}\)=1[/tex3]


[tex3]\boxed{4\cos(x)\cdot\(\cos(2x)-\frac12\)=1}[/tex3]

Talvez eu tenha ido na direção errada ou errei alguma conta, mas enfim, não consegui sair daí

Última edição: LostWalker (Qua 09 Out, 2019 21:45). Total de 1 vez.


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LostWalker
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker »

Acho que achei algo, tava testando no aleatório aqui


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csmarcelo
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

Usaremos a que está Marcada, logo:

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)}-\frac{1}{2}\)=1[/tex3]
Se multiplicarmos convenientemente ambos os lados da equação por 2, então teremos

[tex3]8\cos(x)\cdot\(2\cdot{\color{Green}\cos\(\frac{\pi}{6}+x\)\cdot\cos\(\frac{\pi}{6}-x\)}-1\)=2[/tex3]

Daí, por prostaferese,

[tex3]8\cos(x)\cdot\({\color{Green}\left[\cos\(\frac{\pi}{3}\)+\cos(2x)\right]}-1\)=2[/tex3]

O que nos leva a

[tex3]8\cos(x)\cdot\(\cos(2x)-\frac{1}{2}\)=2[/tex3]

Do arco duplo

[tex3]8\cos(x)\cdot\(2\cos^2(x)-1-\frac{1}{2}\)=2[/tex3]

[tex3]8\cos(x)\cdot\(2\cos^2(x)-\frac{3}{2}\)=2[/tex3]

[tex3]2\cdot4\cos(x)\cdot\(2\cos^2(x)-\frac{3}{2}\)=2[/tex3]

[tex3]4\cos(x)\cdot\(4\cos^2(x)-3\)=2[/tex3]

[tex3]\cos(x)\cdot\(4\cos^2(x)-3\)=\frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]4\cos^3(x)-3\cos(x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Do arco triplo

[tex3]\cos(3x)=\frac{1}{2}[/tex3]

Daí,

[tex3]3x=\frac{\pi}{3}+2q\pi[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi(1+6q)}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi(1+6q)}{9}\leq\pi\rightarrow\frac{1+6q}{9}\leq1\rightarrow q\in{0,1}\rightarrow x\in\{\frac{\pi}{9},\frac{7\pi}{9}\}[/tex3]

ou

[tex3]3x=\frac{5\pi}{3}+2q\pi[/tex3]

[tex3]x=\frac{\pi(5+6q)}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi(5+6q)}{9}\leq\pi\rightarrow\frac{5+6q}{9}\leq1\rightarrow q=0\rightarrow x=\frac{5\pi}{9}[/tex3]

[tex3]\frac{\pi}{9}+\frac{5\pi}{9}+\frac{7\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}\therefore k=\frac{13}{9}[/tex3]



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LostWalker
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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker »

[tex3]4\cos(x)\cdot\(\cos(2x)-\frac12\)=1[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Arcos Múltiplos

[tex3]\sin (2x)=2\cdot\sin x\cdot\cos x\\\cos (2x)=\cos ^2x - \sin ^2x\\\cos (2x)=1-2\cdot\sin ^2x\\\color{Fuchsia}\cos (2x)=2\cdot\cos ^2x-1\\\tan (2x)=\frac{2\cdot\tan x}{1-\tan ^2x}\\\frac{}{}\\\sin (3x)=3\cdot\sin x-4\cdot\sin ^3x\\\color{Violet}\cos (3x)=4\cdot\cos^3 x -3\cos x\\\tan (3x)=\frac{3\cdot\tan x-\tan ^3x}{1-\cdot3\tan ^2x}[/tex3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex3]4\cos(x)\cdot\({\color{Fuchsia}\cos(2x)}-\frac12\)=1[/tex3]

[tex3]4\cos(x)\cdot\({\color{Fuchsia}2\cdot\cos ^2x-\frac22}-\frac12\)=1[/tex3]

[tex3]2\cos(x)\cdot\({2\cdot\cos ^2x-\frac32}\)=\frac12[/tex3]

[tex3]{\color{Violet}4\cos^3(x)-3\cos(x)}=\frac12[/tex3]

[tex3]{\color{Violet}\cos (3x)}=\frac12[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{1}{2}=\cos60^\circ=\cos300^\circ}[/tex3]

[tex3]\left\{\begin{matrix}\cos (3x)=\cos60^\circ\\\cos (3x)=\cos300^\circ\end{matrix}\right.[/tex3]


[tex3]\left\{\begin{matrix}x=20^\circ\\x=100^\circ\end{matrix}\right.[/tex3]


Logo, a soma dos valores é [tex3]120^\circ[/tex3]

[tex3]120^\circ=k\cdot180^\circ[/tex3]


[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{k=\frac23}[/tex3]


Ou seja, eu devo ter errado uma besteira em algum lugar, mas deve ser isso


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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker »

É... essa interpretação final eu não fazia ideia, mas me parecia estranho o final que eu estava fazendo


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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por csmarcelo »

Pois é, só faltou você considerar [tex3]3x=420^\circ[/tex3] , o que nos leva a [tex3]x=140^\circ[/tex3] .

Normalmente, quando se tem uma equação como a que encontramos, igualamos o ângulo a cada uma das primeiras determinações positivas que possuem o valor da função, somamos o período da função [tex3]q[/tex3] vezes e, em seguida, submetemos essa equação às restrições do enunciado, descobrindo assim os possíveis valores de [tex3]q[/tex3] e, consequentemente, do ângulo.



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Re: Equação Trigonométrica

Mensagem não lida por LostWalker »

Ah não, faltou só isso :|

...

...

N devia ter parado de estudar Química para isso XD

Vlw csmarcelo



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