Resposta
[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1[/tex3] (elipse)
IME / ITA ⇒ Lugar geométrico, apostila IME/ITA Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2019
28
13:51
Lugar geométrico, apostila IME/ITA
É dada uma circunferência [tex3]C[/tex3]
de centro na mesma origem e raio [tex3]R[/tex3]
. Nesta circunferência, é traçada uma corda variável [tex3]\overline{AB}[/tex3]
, paralela ao eixo das abscissas. Pelo ponto [tex3]A[/tex3]
, traça-se a reta [tex3]r[/tex3]
, paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares e pelo ponto [tex3]B[/tex3]
, a reta [tex3]s[/tex3]
, perpendicular à reta [tex3]2y + x + 5 = 0[/tex3]
. Determine e identifique o lugar geométrico das interseções das retas [tex3]r[/tex3]
e [tex3]s[/tex3]
.
[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1[/tex3] (elipse)
Recebi a dica de que era interessante parametrizar a altura da corda em vez de usar a parametrização padrão seno cosseno para circunferências, pois a altura (y de A e B) pode ser negativa, mas de qualquer maneira não consegui resolver.
[tex3]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1[/tex3] (elipse)
Última edição: lookez (Sáb 28 Set, 2019 13:52). Total de 2 vezes.
Set 2019
29
02:10
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Colocarei minha observação de como encontrar elipses de uma forma geral. Minha opinião:
2y = -x-5
y = -1/2x-5/2
coeficiente = -1/2
coeficiente da reta perpendicular = -1/a = -(-1/(1/2)) = 2
2x = y a reta s perpenticular.
Para AB ser paralela ao eixo das abcissas, a função que passa por essa corda é uma constante
E considerando que s e r se encontram em um ponto de AB, temos que y = 2
2x = 2
x = 2/2 = 1
1 = c^2
2 = b^2
a^2 = b^2+c^2 = 2+1
Equivalendo a uma elipse como pode ver.
2y = -x-5
y = -1/2x-5/2
coeficiente = -1/2
coeficiente da reta perpendicular = -1/a = -(-1/(1/2)) = 2
2x = y a reta s perpenticular.
Para AB ser paralela ao eixo das abcissas, a função que passa por essa corda é uma constante
E considerando que s e r se encontram em um ponto de AB, temos que y = 2
2x = 2
x = 2/2 = 1
1 = c^2
2 = b^2
a^2 = b^2+c^2 = 2+1
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Última edição: Nickds (Dom 29 Set, 2019 02:11). Total de 1 vez.
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undefinied3 
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Set 2019
29
02:50
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Se você utilizar parametrização polar, provavelmente vai cair numa equação polar pra elipse. Depende se você se sente confortável com identificar uma elipse desse jeito. Vou fazer em coordenadas cartesianas mesmo.
Seja A o ponto [tex3](x_a,y_a)[/tex3] , então o ponto B é [tex3](-x_a,y_a)[/tex3] .
A reta r é dada pot [tex3]y-y_a=x-x_a \rightarrow y=x+(y_a-x_a)[/tex3]
A reta [tex3]2y+x+5=0[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3] . A reta perpendicular tem coeficiente angular [tex3]2[/tex3] .
A reta s deve ter equação [tex3]y-y_b=2(x-x_b)=y-y_a=2(x+x_a) \rightarrow y=2x+(2x_a+y_a)[/tex3]
Então basta resolver o sistema:
[tex3]\begin{cases}
y=x+(y_a-x_a) \\
y=2x+(2x_a+y_a)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]x+(y_a-x_a)=2x+(2x_a+y_a) \rightarrow x-x_a=2x+2x_a \rightarrow x=-3x_a[/tex3]
Da primeira equação, [tex3]y=y_a-4x_a[/tex3]
Então temos os pontos [tex3](-3x_a,y_a-4x_a)[/tex3]
Sabemos que [tex3]x_a^2+y_a^2=R^2 \rightarrow y_a^2= R^2-x_a^2[/tex3]
[tex3]x=-3x_a \rightarrow x_a=-\frac{x}{3}[/tex3] , [tex3]y=y_a-4x_a=y_a+\frac{4x}{3}[/tex3]
[tex3](y-\frac{4x}{3})^2=y_a^2=R^2-x_a^2 \rightarrow (y-\frac{4x}{3})^2=R^2-\frac{x^2}{9}[/tex3]
[tex3]y^2-\frac{8xy}{3}+\frac{16x^2}{9}=R^2-\frac{x^2}{9}[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{17x^2}{9}-\frac{8xy}{3}+y^2=R^2[/tex3]
Essa é a equação do lugar geométrico. É uma cônica rotacionada. A identificação pode ser feita:
[tex3]\Delta = B^2-4AC=\frac{64}{9}-4\frac{17}{9}.1=\frac{64-68}{9}=-\frac{4}{9}[/tex3]
Como é negativo, trata-se de uma elipse.
Se eu não errei nada, é isso.
Seja A o ponto [tex3](x_a,y_a)[/tex3] , então o ponto B é [tex3](-x_a,y_a)[/tex3] .
A reta r é dada pot [tex3]y-y_a=x-x_a \rightarrow y=x+(y_a-x_a)[/tex3]
A reta [tex3]2y+x+5=0[/tex3] tem coeficiente angular [tex3]-\frac{1}{2}[/tex3] . A reta perpendicular tem coeficiente angular [tex3]2[/tex3] .
A reta s deve ter equação [tex3]y-y_b=2(x-x_b)=y-y_a=2(x+x_a) \rightarrow y=2x+(2x_a+y_a)[/tex3]
Então basta resolver o sistema:
[tex3]\begin{cases}
y=x+(y_a-x_a) \\
y=2x+(2x_a+y_a)
\end{cases}[/tex3]
[tex3]x+(y_a-x_a)=2x+(2x_a+y_a) \rightarrow x-x_a=2x+2x_a \rightarrow x=-3x_a[/tex3]
Da primeira equação, [tex3]y=y_a-4x_a[/tex3]
Então temos os pontos [tex3](-3x_a,y_a-4x_a)[/tex3]
Sabemos que [tex3]x_a^2+y_a^2=R^2 \rightarrow y_a^2= R^2-x_a^2[/tex3]
[tex3]x=-3x_a \rightarrow x_a=-\frac{x}{3}[/tex3] , [tex3]y=y_a-4x_a=y_a+\frac{4x}{3}[/tex3]
[tex3](y-\frac{4x}{3})^2=y_a^2=R^2-x_a^2 \rightarrow (y-\frac{4x}{3})^2=R^2-\frac{x^2}{9}[/tex3]
[tex3]y^2-\frac{8xy}{3}+\frac{16x^2}{9}=R^2-\frac{x^2}{9}[/tex3]
[tex3]\therefore \frac{17x^2}{9}-\frac{8xy}{3}+y^2=R^2[/tex3]
Essa é a equação do lugar geométrico. É uma cônica rotacionada. A identificação pode ser feita:
[tex3]\Delta = B^2-4AC=\frac{64}{9}-4\frac{17}{9}.1=\frac{64-68}{9}=-\frac{4}{9}[/tex3]
Como é negativo, trata-se de uma elipse.
Se eu não errei nada, é isso.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Set 2019
29
13:38
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
O problema de resolver assim é r é paralela a bissetriz do quadrante ímpar, ou seja, -y+x+k = 0, com k [tex3]\neq [/tex3]
0, não sendo possível fazer esse sistema com um k qualquer. E xa e ya nesse caso deveriam ser pontos de intersecção das duas retas além do (x, y), ou seja, seriam 2 pontos de encontro de duas retas sendo eles dependentes um do outro de acordo com o sistema, não consigo imaginar isso.
Última edição: Nickds (Dom 29 Set, 2019 14:05). Total de 3 vezes.
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undefinied3
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Set 2019
29
15:20
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Não entendi o que você quis dizer. Xa e Ya estão relacionados pela equação da circunferência. Você tem uma equação, da circunferência, com duas variáveis. Isso dá uma livre pra mexer. B está determinado porque AB é paralelo ao eixo x, então o seu k fica determinado, ele não é qualquer.
O fato de uma variável ficar livre garante a existência do lugar geométrico, pois, ao se mexer com o ponto A ao longo da circunferência, desenha-se a elipse. É por isso que pode-se parametrizar a equação da cônica em termos de Xa ou Ya.
O fato de uma variável ficar livre garante a existência do lugar geométrico, pois, ao se mexer com o ponto A ao longo da circunferência, desenha-se a elipse. É por isso que pode-se parametrizar a equação da cônica em termos de Xa ou Ya.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Set 2019
29
15:36
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Mas basta apenas que xa=ya para k anular-se. E realmente sem grafico a pessoa discute isso e não sai nada, se tivesse um grafico poderia desenrolar. Por enquanto deixa assim. Abraços.
Set 2019
29
18:22
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
É isso mesmo, o gabarito está nada a ver, acabei conseguindo fazer parametrizando com seno cosseno e cheguei a cônica [tex3]\boxed{x^2+(3y-4x)^2=9R^2}[/tex3] , que equivale a sua quando aberta. Obrigado!undefinied3 escreveu: ↑Dom 29 Set, 2019 02:50[tex3]\therefore \frac{17x^2}{9}-\frac{8xy}{3}+y^2=R^2[/tex3]
Essa é a equação do lugar geométrico. É uma cônica rotacionada. A identificação pode ser feita:
[tex3]\Delta = B^2-4AC=\frac{64}{9}-4\frac{17}{9}.1=\frac{64-68}{9}=-\frac{4}{9}[/tex3]
Como é negativo, trata-se de uma elipse.
Se eu não errei nada, é isso.
Set 2019
29
19:42
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Poderia colocar como chegou a essa equação?lookez escreveu: ↑Dom 29 Set, 2019 18:22É isso mesmo, o gabarito está nada a ver, acabei conseguindo fazer parametrizando com seno cosseno e cheguei a cônica [tex3]\boxed{x^2+(3y-4x)^2=9R^2}[/tex3] , que equivale a sua quando aberta. Obrigado!undefinied3 escreveu: ↑Dom 29 Set, 2019 02:50[tex3]\therefore \frac{17x^2}{9}-\frac{8xy}{3}+y^2=R^2[/tex3]
Essa é a equação do lugar geométrico. É uma cônica rotacionada. A identificação pode ser feita:
[tex3]\Delta = B^2-4AC=\frac{64}{9}-4\frac{17}{9}.1=\frac{64-68}{9}=-\frac{4}{9}[/tex3]
Como é negativo, trata-se de uma elipse.
Se eu não errei nada, é isso.
Quase qualquer equação da circunferência com centros semelhantes a (y, x) define uma elipse, por isso é algo inconclusivo.
Última edição: Nickds (Dom 29 Set, 2019 19:43). Total de 1 vez.
Set 2019
29
21:43
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Sejam [tex3]A=(-R\cos\theta,R\sen\theta)[/tex3]
e [tex3]B=(R\cos\theta,R\sen\theta)[/tex3]
, equacionei as retas tendo o [tex3]m[/tex3]
delas:
[tex3]r\text{: }y-R\sen\theta=1(x+R\cos\theta)[/tex3]
[tex3]s\text{: }y-R\sen\theta=2(x-R\cos\theta)[/tex3]
Ponto [tex3]P[/tex3] será [tex3]r\cap s\text{: }x_p+R\cos\theta=2(x_p-R\cos\theta)[/tex3]
[tex3]x_p=3R\cos\theta\rightarrow y_p=R\sen\theta+4R\cos\theta[/tex3]
Agora basta desparametrizar.
[tex3]r\text{: }y-R\sen\theta=1(x+R\cos\theta)[/tex3]
[tex3]s\text{: }y-R\sen\theta=2(x-R\cos\theta)[/tex3]
Ponto [tex3]P[/tex3] será [tex3]r\cap s\text{: }x_p+R\cos\theta=2(x_p-R\cos\theta)[/tex3]
[tex3]x_p=3R\cos\theta\rightarrow y_p=R\sen\theta+4R\cos\theta[/tex3]
Agora basta desparametrizar.
Set 2019
29
21:56
Re: Lugar geométrico, apostila IME/ITA
Então você fez basicamente o que o colega alí em cima fez só que usando relações trigonométricas. Aí não teria como dar diferente realmente.
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