IME / ITA ⇒ (IME - Modificada) Polinômio Tópico resolvido

[snooplammer]

Sabendo que o polinômio [tex3]P(x)=x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24[/tex3]

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[tex3]P(x)=x^{10}-2x^9+2x^8+x^6-2x^5+2x^4-12x^2+24x-24[/tex3]

admite como raiz complexa [tex3]z=1+i[/tex3]

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[tex3]z=1+i[/tex3]

. Sobre as outras raízes de [tex3]P(x)[/tex3]

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[tex3]P(x)[/tex3]

qual das afirmações são verdadeiras:

I. São 6 raízes complexas e 2 raízes reais;
II. São todas raízes complexas;
III. São 4 raízes complexas e 4 raízes reais

Resposta

---

I

[undefinied3]

[tex3]x^8(x^2-2x+2)+x^4(x^2-2x+2)-12(x^2-2x+2)=(x^2-2x+2)(x^8+x^4-12)[/tex3]

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[tex3]x^8(x^2-2x+2)+x^4(x^2-2x+2)-12(x^2-2x+2)=(x^2-2x+2)(x^8+x^4-12)[/tex3]

O primeiro termo é o responsável pelas raiz [tex3]1+i[/tex3]

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[tex3]1+i[/tex3]

e [tex3]1-i[/tex3]

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[tex3]1-i[/tex3]

[tex3]x^8+x^4-12=0 \rightarrow y^2+y-12=0 \rightarrow y=3, \ \ y=-4[/tex3]

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[tex3]x^8+x^4-12=0 \rightarrow y^2+y-12=0 \rightarrow y=3, \ \ y=-4[/tex3]

[tex3]x^4=3 \rightarrow x^2= \pm \sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]x^4=3 \rightarrow x^2= \pm \sqrt{3}[/tex3]

[tex3]x^2=\sqrt{3} \rightarrow x= \pm \sqrt[4]{3}[/tex3]

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[tex3]x^2=\sqrt{3} \rightarrow x= \pm \sqrt[4]{3}[/tex3]

Duas reais
[tex3]x^2=-\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]x^2=-\sqrt{3}[/tex3]

Duas complexas
[tex3]x^4=-4 \rightarrow x^2=\pm2i[/tex3]

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[tex3]x^4=-4 \rightarrow x^2=\pm2i[/tex3]

[tex3]x^2=2i[/tex3]

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[tex3]x^2=2i[/tex3]

Duas imaginárias
[tex3]x^2=-2i[/tex3]

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[tex3]x^2=-2i[/tex3]

Duas imaginárias

Então são duas reais e 6 imaginárias.

[Nickds]

Seriam 7 raízes, já que uma das raízes quartas de -4 é 1 + i.