Tomando sobre as arestas de um ângulo triedrico, cujas faces compreendem ângulos de 60 graus, os segmentos AM=a, AN=b, AP=c . Determine o volume do tetraedro A(MNP).
Se não me engano é possível fazer por geometria analítica ( no R^3) porém de preferência gostaria de saber como posso prosseguir com geometria espacial.
[*Gabarito:
V= (abc√2)/12]
Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial (Pirâmides) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2019
14
22:19
Geometria Espacial (Pirâmides)
Última edição: Waterloo (Sáb 14 Set, 2019 22:20). Total de 1 vez.
A journey of a thousand miles begins with a single step. Não Desista! 
Set 2019
15
21:55
Re: Geometria Espacial (Pirâmides)
Vamos tomar como referência a face AMN sendo a base do tetraedro, vamos então encontrar a altura de P em relação à essa face, que nada mais é do que a altura do tetraedro.
Projetando o ponto P sobre o plano AMN temos o ponto Z, sendo que a reta AZ faz um ângulo de 30º com AM e também 30º com AN, onde PZ é a altura do tetraedro
Projetando a reta AP sobre a reta AM temos a reta AX (APX é um triangulo retângulo)
[tex3]AX=AP.\cos(60^o)[/tex3]
[tex3]AX=\frac{c}{2}[/tex3]
mas como AX esta sobre AM e o triangulo AZX também é retângulo então:
[tex3]AX=AZ.\cos(30^o)[/tex3]
[tex3]AZ=\frac{c}{\sqrt3}[/tex3]
mas
[tex3]AP^2=PZ^2+AZ^2[/tex3]
[tex3]c^2=PZ^2+\frac{c^2}{3}[/tex3]
[tex3]PZ=\frac{\sqrt2.c}{\sqrt3}[/tex3]
a area do triângulo AMN será
[tex3]Area=\frac{a.b.\sen(60^o)}{2}[/tex3]
[tex3]Area=\frac{ab\sqrt3}{4}[/tex3]
o volume então será
[tex3]Volume=\frac{Area.PZ}{3}[/tex3]
[tex3]Volume=\frac{ab\sqrt3}{3.4}.\frac{c.\sqrt2}{\sqrt3}[/tex3]
[tex3]Volume=\frac{abc\sqrt2}{12}[/tex3]
Projetando o ponto P sobre o plano AMN temos o ponto Z, sendo que a reta AZ faz um ângulo de 30º com AM e também 30º com AN, onde PZ é a altura do tetraedro
Projetando a reta AP sobre a reta AM temos a reta AX (APX é um triangulo retângulo)
[tex3]AX=AP.\cos(60^o)[/tex3]
[tex3]AX=\frac{c}{2}[/tex3]
mas como AX esta sobre AM e o triangulo AZX também é retângulo então:
[tex3]AX=AZ.\cos(30^o)[/tex3]
[tex3]AZ=\frac{c}{\sqrt3}[/tex3]
mas
[tex3]AP^2=PZ^2+AZ^2[/tex3]
[tex3]c^2=PZ^2+\frac{c^2}{3}[/tex3]
[tex3]PZ=\frac{\sqrt2.c}{\sqrt3}[/tex3]
a area do triângulo AMN será
[tex3]Area=\frac{a.b.\sen(60^o)}{2}[/tex3]
[tex3]Area=\frac{ab\sqrt3}{4}[/tex3]
o volume então será
[tex3]Volume=\frac{Area.PZ}{3}[/tex3]
[tex3]Volume=\frac{ab\sqrt3}{3.4}.\frac{c.\sqrt2}{\sqrt3}[/tex3]
[tex3]Volume=\frac{abc\sqrt2}{12}[/tex3]
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