IME / ITALugar geométrico proporcional, apostila IME/ITA Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
lookez
2 - Nerd
Mensagens: 240
Registrado em: Dom 31 Mar, 2019 16:46
Última visita: 21-03-24
Set 2019 14 13:41

Lugar geométrico proporcional, apostila IME/ITA

Mensagem não lida por lookez »

Determine a equação, identificando a sua natureza, do lugar geométrico de um ponto que se desloca de tal forma que o quadrado de sua distância ao ponto (1, 1) é proporcional à sua distância à reta x + y = 0.
Resposta

Círculo se 0 < k < 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] , círculo e o ponto (-1, -1) se k = 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] , dois círculos se k > 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
De acordo com o enunciado, cheguei a equação [tex3](x-1)^{2}+(y-1)^{2}=k\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}[/tex3]

Entretanto não entendi a resposta, o que tem de especial no valor de k = 4 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] que define 3 possibilidades diferentes para o problema? como chego nesse valor?




Avatar do usuário
undefinied3
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1483
Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
Última visita: 30-09-22
Set 2019 14 14:30

Re: Lugar geométrico proporcional, apostila IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 »

Do jeito que está você não sabe definir a cônica pois o lado direito ainda tem termos em x e y. Você vai precisar tirar o módulo pra estudar os casos e jogar tudo que tem x e y pra um lado e deixar uma constante em função de k do outro pra poder estudar quando a cônica existe ou é degenerada ou enfim.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Avatar do usuário
Autor do Tópico
lookez
2 - Nerd
Mensagens: 240
Registrado em: Dom 31 Mar, 2019 16:46
Última visita: 21-03-24
Set 2019 14 18:19

Re: Lugar geométrico proporcional, apostila IME/ITA

Mensagem não lida por lookez »

undefinied3 escreveu:
Sáb 14 Set, 2019 14:30
Do jeito que está você não sabe definir a cônica pois o lado direito ainda tem termos em x e y. Você vai precisar tirar o módulo pra estudar os casos e jogar tudo que tem x e y pra um lado e deixar uma constante em função de k do outro pra poder estudar quando a cônica existe ou é degenerada ou enfim.
Tentei elevar ao quadrado para sumir com o módulo e fica péssimo, tentei também abrir em casos para [tex3]x+y\geq0[/tex3] e [tex3]x+y\lt0[/tex3] , algumas incógnitas ficam com o fator [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e a equação não parece me dizer nada de útil pois não é fatorável, ou talvez estou insuficiente na álgebra?

Os casos são de fato os que o gabarito diz, joguei no GeoGebra para [tex3]\frac{k}{\sqrt{2}}>4[/tex3] :
bigger.png
bigger.png (87.88 KiB) Exibido 1481 vezes
Para [tex3]\frac{k}{\sqrt{2}}=4[/tex3] :
equal.png
equal.png (59.98 KiB) Exibido 1481 vezes
E para [tex3]0<\frac{k}{\sqrt{2}}<4[/tex3] :
less.png
less.png (47 KiB) Exibido 1481 vezes
Da pra ver o que está acontecendo no problema, quando o valor de [tex3]\frac{k}{\sqrt{2}}[/tex3] atinge 4 e depois cresce a equação passa a ter pontos solução no lado inferior da reta y = -x, só não consigo chegar a um resultado algébrico que me diga isso. Outra forma de ver é que, no caso em que x + y < 0, o lado direito da equação fica [tex3]\frac{-k(x+y)}{\sqrt{2}}[/tex3] , e a equação só passa a ter solução no valor k ≥ [tex3]4\sqrt{2}[/tex3] , começando pelo ponto (-1, -1) e virando uma circunferência imediatamente após isso, com raio aumentando conforme k cresce.
Última edição: lookez (Sáb 14 Set, 2019 19:08). Total de 3 vezes.



Avatar do usuário
undefinied3
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 1483
Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
Última visita: 30-09-22
Set 2019 15 01:40

Re: Lugar geométrico proporcional, apostila IME/ITA

Mensagem não lida por undefinied3 »

É abrir em casos mesmo.

Só pra simplificar, tome [tex3]p=\frac{k}{\sqrt{2}}[/tex3]


[tex3]x^2-(2\pm p)x +1 + y^2-(2\pm p)y +1=0[/tex3]
[tex3](x-\frac{2 \pm p}{2})^2 + (y- \frac{2 \pm p}{2})^2 - \frac{(2 \pm p)^2}{2}+2=0[/tex3]
[tex3](x-\frac{2 \pm p}{2})^2 + (y- \frac{2 \pm p}{2})^2=\frac{(2 \pm p)^2-4}{2}=\frac{\pm p(4 \pm p)}{2}[/tex3]

Para o caso positivo:
[tex3]r^2 = \frac{p(p+4)}{2}[/tex3]

De antemão, sabemos que p é positivo, pois uma distância deve ser positiva.

Se [tex3]p(p+4)=<0 \rightarrow -4 < p < 0[/tex3] , não temos solução. Se [tex3]p=0[/tex3] , temos uma solução pontual no ponto (-1,-1). Nos outros casos, é uma circunferência centrada em [tex3](\frac{2 + p}{2},\frac{2 + p}{2})[/tex3] . p=-4 não é solução pois p é negativo.
Então é uma circunferência em p>0.

Para o caso negativo:

[tex3]r^2 = \frac{-p(4-p)}{2}[/tex3]

[tex3]-p(4-p)>0 \rightarrow p(4-p) <0 \rightarrow p>4[/tex3] , uma circunferência.

[tex3](4-p)=0 \rightarrow p=4[/tex3] temos o ponto [tex3](-1,-1)[/tex3]

Fazendo todas as interseções, obtemos justamente o gabarito. Apenas uma circunferência quando [tex3]0<p<4[/tex3] , que veio do caso negativo.
Uma circunferência, que vem do caso negativo, com um ponto, que vem do caso positivo, quando p=4.
Duas circunferências, uma do caso negativo e a outra do caso positivo, quando p>4.

No caso, [tex3]p=\frac{k}{\sqrt{2}}[/tex3] , por isso que surge aquele [tex3]\sqrt{2}[/tex3] nas respostas do gabarito que aqui na minha solução não apareceu.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “IME / ITA”