- x12.PNG (14.67 KiB) Exibido 1302 vezes
b)4 [tex3]\pi [/tex3]
c)2 [tex3]\pi [/tex3]
d)[tex3]\pi [/tex3]
e)5 [tex3]\pi [/tex3]
Resposta
c
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
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Flavio2020
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Set 2019
09
18:38
(Simulado IME/ITA) Geometria Plana
No gráfico PM=MT,T é ponto de tangência e AN+BM=2 [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
.Calcule a área da região sombreada.
a)3 [tex3]\pi [/tex3]
b)4 [tex3]\pi [/tex3]
c)2 [tex3]\pi [/tex3]
d)[tex3]\pi [/tex3]
e)5 [tex3]\pi [/tex3]
c
b)4 [tex3]\pi [/tex3]
c)2 [tex3]\pi [/tex3]
d)[tex3]\pi [/tex3]
e)5 [tex3]\pi [/tex3]
c
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lookez
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Set 2019
14
14:26
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Encontrei diferente do gabarito:
[tex3]\frac{\overline{AN}+\overline{BM}}{2}[/tex3]
é a base média do trapézio ABMN, que também será o raio do círculo, [tex3]\sqrt{5}[/tex3]
.
Traçando [tex3]\overline{OQ}[/tex3] e [tex3]\overline{AQ}[/tex3] aparece o triângulo retângulo isósceles ABQ inscrito no círculo com vértice "olhando" para o diâmetro, assim conseguimos encontrar o ângulo [tex3]\alpha = 15°[/tex3] .
Área do setor circular: [tex3]\pi(\sqrt{5})^{2}\frac{135°}{360°}=\frac{15\pi}{8}[/tex3]
- fig.PNG (15.36 KiB) Exibido 1152 vezes
Traçando [tex3]\overline{OQ}[/tex3] e [tex3]\overline{AQ}[/tex3] aparece o triângulo retângulo isósceles ABQ inscrito no círculo com vértice "olhando" para o diâmetro, assim conseguimos encontrar o ângulo [tex3]\alpha = 15°[/tex3] .
Área do setor circular: [tex3]\pi(\sqrt{5})^{2}\frac{135°}{360°}=\frac{15\pi}{8}[/tex3]
Editado pela última vez por lookez em 14 Set 2019, 18:43, em um total de 2 vezes.
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jedi
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Set 2019
15
21:22
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
Boa noite
Na verdade ABQ não é isóceles, AOQ e BOQ sim são isoceles, mas ABQ não
Encontrando alfa:
[tex3]\hat{BAQ}=3\alpha[/tex3]
[tex3]BM=R.\sen(3\alpha)+R[/tex3]
[tex3]PM=MT=R.\cos(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{PM}{BM}=\tan(\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{R.\cos(3\alpha)}{R.\sen(3\alpha)+R}=\tan(\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{\cos(3\alpha)}{\sen(3\alpha)+R}=\frac{\sen(\alpha)}{\cos(\alpha)}[/tex3]
[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)=\sen(\alpha).\sen(3\alpha)+\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)-\sen(\alpha).\sen(3\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\cos(3\alpha-\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\cos(2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\sen(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{2}-2\alpha=3\alpha[/tex3]
[tex3]\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3]
Na verdade ABQ não é isóceles, AOQ e BOQ sim são isoceles, mas ABQ não
Encontrando alfa:
[tex3]\hat{BAQ}=3\alpha[/tex3]
[tex3]BM=R.\sen(3\alpha)+R[/tex3]
[tex3]PM=MT=R.\cos(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{PM}{BM}=\tan(\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{R.\cos(3\alpha)}{R.\sen(3\alpha)+R}=\tan(\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{\cos(3\alpha)}{\sen(3\alpha)+R}=\frac{\sen(\alpha)}{\cos(\alpha)}[/tex3]
[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)=\sen(\alpha).\sen(3\alpha)+\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\cos(3\alpha)\cos(\alpha)-\sen(\alpha).\sen(3\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\cos(3\alpha-\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\cos(2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\sen(\frac{\pi}{2}-2\alpha)=\sen(3\alpha)[/tex3]
[tex3]\frac{\pi}{2}-2\alpha=3\alpha[/tex3]
[tex3]\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3]
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LostWalker
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Set 2019
15
23:40
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
De certo modo, eu cheguei no mesmo que jedi, porém eu usei Geometria Plana e não Geometria Analítica. A princípio, achei sua resolução muito interessante (dado que me sinto uma batata quando o assunto é Geometria Analítica).
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vamos começar "organizando" essa bagunça de ângulos. Vou apenas mostrar as retas mais interessantes:
[tex3]\overline{PM}=\overline{MT}[/tex3] então sendo [tex3]\overline{BM}[/tex3] uma reta em comum, podemos definir que:
[tex3]\angle{MBP}=\angle{TBM}=\alpha[/tex3]
Pensando que o ângulo parte dos pontos [tex3]T[/tex3] , [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , que pertencem a circunferência, o ângulo [tex3]\angle TOC[/tex3] será seu dobro, ou seja, [tex3]2\alpha[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Resumidamente, usasse mesmo princípio, logo, [tex3]\angle COB[/tex3] também valerá o dobro do seu respectivo, ou seja, [tex3]6\alpha[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Agora ideias de Simetria, tanto para os ângulos, quanto para as retas:
Podemos usar e abusar do fato de [tex3]\overline{AN}[/tex3]
e [tex3]\overline{BM}[/tex3]
serem perpendiculares a Reta Tangente. Se fôssemos projetar o que temos embaixo para cima, logo veríamos:
[tex3]\mbox{I.}[/tex3] Mais um ângulo [tex3]2\alpha[/tex3] para a Reta Tangente. Ou seja, [tex3]\pi=10\alpha\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3] e todo o Círculo é [tex3]20\alpha[/tex3]
[tex3]\mbox{II.}\,\,\overline{AN}=\overline{BN'}[/tex3]
Com a [tex3]\mbox{II}[/tex3] , podemos dizer que o Diâmetro vale [tex3]d=2\sqrt5[/tex3] , logo, [tex3]r=\sqrt5[/tex3] e sua área:
[tex3]A=\pi r^2[/tex3]
[tex3]A=5\pi[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Com isso, Regra de 3 e temos nossa resposta:
[tex3]\frac{5\pi}{S}=\frac{20\alpha}{8\alpha}[/tex3]
[tex3]S=\frac{5\pi\cdot8{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}{20{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=2\pi}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vamos começar "organizando" essa bagunça de ângulos. Vou apenas mostrar as retas mais interessantes:
- ! 1.jpg (20.99 KiB) Exibido 1097 vezes
[tex3]\overline{PM}=\overline{MT}[/tex3] então sendo [tex3]\overline{BM}[/tex3] uma reta em comum, podemos definir que:
[tex3]\angle{MBP}=\angle{TBM}=\alpha[/tex3]
Pensando que o ângulo parte dos pontos [tex3]T[/tex3] , [tex3]C[/tex3] e [tex3]B[/tex3] , que pertencem a circunferência, o ângulo [tex3]\angle TOC[/tex3] será seu dobro, ou seja, [tex3]2\alpha[/tex3]
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- ! 2.jpg (22.42 KiB) Exibido 1097 vezes
Resumidamente, usasse mesmo princípio, logo, [tex3]\angle COB[/tex3] também valerá o dobro do seu respectivo, ou seja, [tex3]6\alpha[/tex3]
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Agora ideias de Simetria, tanto para os ângulos, quanto para as retas:
- ! 3.jpg (20.14 KiB) Exibido 1097 vezes
[tex3]\mbox{I.}[/tex3] Mais um ângulo [tex3]2\alpha[/tex3] para a Reta Tangente. Ou seja, [tex3]\pi=10\alpha\,\,\,\therefore\,\,\,\alpha=\frac{\pi}{10}[/tex3] e todo o Círculo é [tex3]20\alpha[/tex3]
[tex3]\mbox{II.}\,\,\overline{AN}=\overline{BN'}[/tex3]
Com a [tex3]\mbox{II}[/tex3] , podemos dizer que o Diâmetro vale [tex3]d=2\sqrt5[/tex3] , logo, [tex3]r=\sqrt5[/tex3] e sua área:
[tex3]A=\pi r^2[/tex3]
[tex3]A=5\pi[/tex3]
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Com isso, Regra de 3 e temos nossa resposta:
[tex3]\frac{5\pi}{S}=\frac{20\alpha}{8\alpha}[/tex3]
[tex3]S=\frac{5\pi\cdot8{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}{20{\color{Red}\cancel{\color{Black}\alpha}}}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{S=2\pi}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\mbox{Alternativa C}[/tex3]
Editado pela última vez por LostWalker em 15 Set 2019, 23:41, em um total de 1 vez.
"[...] Mas essa é a graça dos encontros e desencontros: a Coincidência e o Destino. Se pudesse resumir, diria: A causalidade é a Ironia do Universo."
-Melly
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geobson
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Set 2019
21
16:50
Re: (Simulado IME/ITA) Geometria Plana
há um vídeo explicado uma forma de resolver este problema
https://www.youtube.com/watch?v=8nN26cUA69g
https://www.youtube.com/watch?v=8nN26cUA69g
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