Tem a parte mais básica que é como chegar no Raio da esfera Inscrita, caso você tenha decorado é [tex3]r_i=\frac{a\sqrt6}{6}[/tex3]
e nem eu tinha decorado isso. Mas para tentar visualizar melhor a imagem, vamos fazer uma baguncinha:
- Icosaedro.png (164.18 KiB) Exibido 2326 vezes
É, vou deixar as imagens grandes para melhor visualização
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No Triângulo [tex3]\Delta{ABC}[/tex3]
, [tex3]\overline{AD}[/tex3]
é Altura ([tex3]h[/tex3]
), que pode ser calculada como
[tex3]h^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2[/tex3]
[tex3]h=\frac{a\sqrt3}2[/tex3]
Considerando o Triângulo [tex3]\Delta{ADO}[/tex3]
, [tex3]\overline{AO}[/tex3]
é Altura [tex3]H[/tex3]
e sabendo que [tex3]\overline{DO}=\frac a2[/tex3]
[tex3]H^2+\left(\frac a2\right)^2=h^2[/tex3]
[tex3]H=\frac{a\sqrt2}{2}[/tex3]
Sendo [tex3]\overline{EO}=r_i[/tex3]
e também tendo o ângulo reto, podemos usar a propriedade que:
[tex3]\overline{DO}\cdot\overline{AO}=\overline{AD}\cdot\overline{EO}[/tex3]
[tex3]\frac a2\cdot \frac{a\sqrt2}2=\frac{a\sqrt3}2\cdot r_i[/tex3]
[tex3]r_i=\frac{\sqrt6} 6[/tex3]
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Nova Ilustração:
- Icosaedro 2.png (163.26 KiB) Exibido 2326 vezes
Nosso objetivo atual é achar o Ponto G, mais precisamente, [tex3]\overline{BG}[/tex3]
Sabemos que [tex3]\overline{BO}-\overline{GO}=\overline{BG}[/tex3]
, sendo que, [tex3]\overline{BO}[/tex3]
metade da diagonal no Quadrado (faz um pitágoras e encontra [tex3]a\sqrt2[/tex3]
, esse seria a Diagonal, e claro, queremos metade disso), e [tex3]\overline{GO}=r_i[/tex3]
[tex3]\overline{BO}-\overline{GO}=\overline{BG}[/tex3]
[tex3]\frac{a\sqrt2}{2}-\frac{a\sqrt6}{6}=\overline{BG}[/tex3]
[tex3]\overline{BG}=\frac {a(3\sqrt2-\sqrt6)}{6}[/tex3]
Vamos jogar esse [tex3]3[/tex3]
para dentro da raiz e depois usar evidência
[tex3]\overline{BG}=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}[/tex3]
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Agora, vamos esquecer essas contas um poucos, vamos criar uma nova medida chamada [tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3]
- Icosaedro 3.png (163.5 KiB) Exibido 2326 vezes
"Só pela imagem, já da pra ver que agora sujo legal..."
O nosso [tex3]\frac{b\sqrt2}2[/tex3]
se refere a medida de [tex3]\overline{BG}[/tex3]
. Porém, se você observar que isso se refere a um corte Vertical, ele mantém linhas paralelas ao Octaedro, na verdade, esse corte forma metade de Octaedro. Sendo assim, vamos manter igualdades
[tex3]\overline{BG}=\overline{BI}=\overline{BJ}=\overline{BK}=\overline{BL}=\frac {b\sqrt2}2[/tex3]
Vamos pensar na mesma ideia de quando achamos o [tex3]H[/tex3]
, só que de trás-pra-frente, sendo [tex3]M[/tex3]
o Ponto Médio de [tex3]\overline{JK}[/tex3]
Sendo o Triângulo [tex3]\Delta{GJK}[/tex3]
Retângulo, usando Pitágoras temos
[tex3]\overline{GJ}^2+\overline{GK}^2=\overline{JK}^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac {b\sqrt2}2\right)^2+\left(\frac {b\sqrt2}2\right)^2=\overline{JK}^2[/tex3]
[tex3]\overline{JK}=b[/tex3]
Mas vamos lembrar que isso se refere a metade de um Octaedro, logo, [tex3]\overline{JK}=\overline{IJ}=\overline{KL}=\overline{IL}=\overline{BI}=\overline{BJ}=\overline{BK}=\overline{BL}=b[/tex3]
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Vamos pensar agora em dois Pontos Médios, o Ponto [tex3]M[/tex3]
, ponto médio de [tex3]\overline{JK}[/tex3]
e [tex3]N[/tex3]
, ponto médio de [tex3]\overline{IL}[/tex3]
, já vamos adicionar o Círculo dentro do Triângulo [tex3]\Delta{BMN}[/tex3]
- Icosaedro 4.png (164.38 KiB) Exibido 2326 vezes
Sabemos que [tex3]A=pr[/tex3]
, e podemos calcular [tex3]A[/tex3]
usando [tex3]\frac{\overline{MN}\cdot\overline{BG}}{2}[/tex3]
.
Para achar [tex3]\overline{MN}[/tex3]
, vamos encontra, vamos entender que ele é igual a [tex3]\overline{IJ}[/tex3]
e [tex3]\overline{LK}[/tex3]
Com isso, temos que [tex3]A[/tex3]
:
[tex3]A=\frac{\overline{MN}\cdot\overline{BG}}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{b\cdot\frac{b\sqrt2}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]A=\frac{b^2\sqrt2}{4}[/tex3]
Agora, o semi-perimetro de [tex3]\Delta{BMN}[/tex3]
. Sabemos também que [tex3]\overline{BM}=\overline{BN}[/tex3]
e para [tex3]\overline{BM}[/tex3]
[tex3]\overline{BG}^2+\overline{GM}^2=\overline{BM}^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac{b\sqrt2}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2=\overline{BM}^2[/tex3]
[tex3]\overline{BM}=\frac{b\sqrt3}2[/tex3]
E com isso o semi-perímetro é:
[tex3]p=\frac{\overline{BM}+\overline{BN}+\overline{MN}}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{\frac{b\sqrt3}2+\frac{b\sqrt3}2+b}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{b(\sqrt3+1)}{2}[/tex3]
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Sabendo que esse mesmo Triângulo [tex3]\Delta{BMN}[/tex3]
também ocorre na Horizontal, podemos afirmar que o raio do Circulo é igual ao Raio de uma esfera que se encaixa no mesmo lugar, e para esse [tex3]r[/tex3]
:
[tex3]A=pr[/tex3]
[tex3]r=\frac Ap[/tex3]
[tex3]r=\frac{\frac{b^2\sqrt2}{4}}{\frac{b(\sqrt3+1)}{2}}[/tex3]
[tex3]r=\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}[/tex3]
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Vamos agora pra uma básica regra de [tex3]3[/tex3]
, como eu havia definido, [tex3]\overline{BG}=\frac{b\sqrt2}2[/tex3]
porém já tínhamos definido que [tex3]\overline{BG}=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}[/tex3]
e então, encontramos o raio para [tex3]a[/tex3]
[tex3]\frac{\frac{b\sqrt2}2}{\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}}=\frac{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}r[/tex3]
[tex3]r=\frac{{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}\cdot\frac{b\sqrt2(\sqrt3-1)}{4}}{\frac{b\sqrt2}2}[/tex3]
[tex3]r=\frac{{\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)}{6}}\cdot{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{b\sqrt2}{2}}}\cdot\frac{(\sqrt3-1)}{2}}{\color{Red}\cancel{\color{Black}\frac{b\sqrt2}{2}}}[/tex3]
[tex3]r=\frac {a\sqrt6(\sqrt3-1)^2}{12}[/tex3]
[tex3]r=\frac {a\sqrt6(3-2\sqrt3+1)}{12}[/tex3]
[tex3]r=\frac {a\sqrt6(4-2\sqrt3)}{12}[/tex3]
[tex3]r=\frac {2a\sqrt6(2-\sqrt3)}{12}[/tex3]
[tex3]\color{MidNightBlue}\boxed{r=\frac {a\sqrt6(2-\sqrt3)}{6}}[/tex3]
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Bom, foi o que eu encontrei, espero que o Gabarito esteja errado mesmo XD
*Caso tenha percebido que o nome das imagens é Icosaedro, ignora, eu fiquei com preguiça de arrumar