Um galpão possui 20 caixas de papelão. Um funcionário pretende colocar biscoito em 5 delas, mas não quer colocar em duas caixas consecutivas (vizinhas). De quantas formas ele pode escolher essas 5 caixas?
a) 4368
b) 15504
c) 15502
d) 4260
e) 20!
Questão nível ITA/IME, não conseguir resolver, ajuda ai!!
Ensino Médio ⇒ Combinatória Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Set 2019
07
18:21
Re: Probabilidade
[tex3]{\color{red}\square}[/tex3]
: caixa com biscoitos
[tex3]\square[/tex3] : caixa sem biscoito
[tex3]\large\underbrace{\square...\square}_{x_1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_2+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_3+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_4+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_5+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_6\text{ caixas}}[/tex3]
Temos que
[tex3]x_1+x_2+1+x_3+1+x_4+1+x_5+1+x_6=15[/tex3]
Daí
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11[/tex3]
O número de soluções inteiras e não negativas dessa equação linear é dado por [tex3]C^{11+6-1}_{11}=4368[/tex3] .
[tex3]\square[/tex3] : caixa sem biscoito
[tex3]\large\underbrace{\square...\square}_{x_1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_2+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_3+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_4+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_5+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_6\text{ caixas}}[/tex3]
Temos que
[tex3]x_1+x_2+1+x_3+1+x_4+1+x_5+1+x_6=15[/tex3]
Daí
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11[/tex3]
O número de soluções inteiras e não negativas dessa equação linear é dado por [tex3]C^{11+6-1}_{11}=4368[/tex3] .
Set 2019
07
19:29
Re: Probabilidade
Mano, não entendi muito bem sua lógica, mas agradeço pela ajuda!csmarcelo escreveu: ↑Sáb 07 Set, 2019 18:21[tex3]{\color{red}\square}[/tex3] : caixa com biscoitos
[tex3]\square[/tex3] : caixa sem biscoito
[tex3]\large\underbrace{\square...\square}_{x_1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_2+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_3+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_4+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_5+1\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{x_6\text{ caixas}}[/tex3]
Temos que
[tex3]x_1+x_2+1+x_3+1+x_4+1+x_5+1+x_6=15[/tex3]
Daí
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11[/tex3]
O número de soluções inteiras e não negativas dessa equação linear é dado por [tex3]C^{11+6-1}_{11}=4368[/tex3] .
Set 2019
07
19:47
Re: Combinatória
O que você não entendeu exatamente?
Temos cinco caixas com biscoito e 15 sem biscoito.
Para a quantidade de caixas em cada uma das possíveis posições relativas às caixas vermelhas eu atribui uma expressão. Por exemplo, [tex3]x_1[/tex3] é q quantidade de caixas sem biscoito antes da primeira caixa vermelha; [tex3]x_4+1[/tex3] entre as terceira e quarta caixas vermelhas.
Se o total de caixas sem biscoito é 15, então o somatório de todas essas expressões deve ser também 15.
Assim, chegamos a
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11[/tex3] .
Obviamente, todas as variáveis só podem possuir valores inteiros.
Além disso, repare que, da forma que determinei as expressões, qualquer uma delas pode assumir valor igual a zero (não todas simultaneamente, visto que o total tem que ser 11).
Existe essa fórmula que, dada uma equação como a apresentada (linear), nos diz a quantidade de soluções inteiras e não negativas.
Uma solução seria, por exemplo
[tex3]x_1=0,x_2=2,x_3=2,x_4=6,x_5=0,x_6=1[/tex3]
E isso se refletiria na seguinte configuração
[tex3]\large\underbrace{\square...\square}_{0\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{2+1=3\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{2+1=3\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{6+1=7\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{0+1=1\text{ caixa}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{1\text{ caixa}}[/tex3]
Repare que o fato de eu ter somado 1 a todos os [tex3]x[/tex3] s entre caixas faz com que garantamos que sempre haverá pelo menos uma caixa sem biscoito entre as caixas com biscoito, que é justamente o caso de [tex3]x_5[/tex3] .
Temos cinco caixas com biscoito e 15 sem biscoito.
Para a quantidade de caixas em cada uma das possíveis posições relativas às caixas vermelhas eu atribui uma expressão. Por exemplo, [tex3]x_1[/tex3] é q quantidade de caixas sem biscoito antes da primeira caixa vermelha; [tex3]x_4+1[/tex3] entre as terceira e quarta caixas vermelhas.
Se o total de caixas sem biscoito é 15, então o somatório de todas essas expressões deve ser também 15.
Assim, chegamos a
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11[/tex3] .
Obviamente, todas as variáveis só podem possuir valores inteiros.
Além disso, repare que, da forma que determinei as expressões, qualquer uma delas pode assumir valor igual a zero (não todas simultaneamente, visto que o total tem que ser 11).
Existe essa fórmula que, dada uma equação como a apresentada (linear), nos diz a quantidade de soluções inteiras e não negativas.
Uma solução seria, por exemplo
[tex3]x_1=0,x_2=2,x_3=2,x_4=6,x_5=0,x_6=1[/tex3]
E isso se refletiria na seguinte configuração
[tex3]\large\underbrace{\square...\square}_{0\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{2+1=3\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{2+1=3\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{6+1=7\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{0+1=1\text{ caixa}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{1\text{ caixa}}[/tex3]
Repare que o fato de eu ter somado 1 a todos os [tex3]x[/tex3] s entre caixas faz com que garantamos que sempre haverá pelo menos uma caixa sem biscoito entre as caixas com biscoito, que é justamente o caso de [tex3]x_5[/tex3] .
Última edição: csmarcelo (Sáb 07 Set, 2019 19:49). Total de 3 vezes.
Razão: pequenos ajustes
Razão: pequenos ajustes
Set 2019
07
20:22
Re: Combinatória
csmarcelo escreveu: ↑Sáb 07 Set, 2019 19:47O que você não entendeu exatamente?
Temos cinco caixas com biscoito e 15 sem biscoito.
Para a quantidade de caixas em cada uma das possíveis posições relativas às caixas vermelhas eu atribui uma expressão. Por exemplo, [tex3]x_1[/tex3] é q quantidade de caixas sem biscoito antes da primeira caixa vermelha; [tex3]x_4+1[/tex3] entre as terceira e quarta caixas vermelhas.
Se o total de caixas sem biscoito é 15, então o somatório de todas essas expressões deve ser também 15.
Assim, chegamos a
[tex3]x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=11[/tex3] .
Obviamente, todas as variáveis só podem possuir valores inteiros.
Além disso, repare que, da forma que determinei as expressões, qualquer uma delas pode assumir valor igual a zero (não todas simultaneamente, visto que o total tem que ser 11).
Existe essa fórmula que, dada uma equação como a apresentada (linear), nos diz a quantidade de soluções inteiras e não negativas.
Uma solução seria, por exemplo
[tex3]x_1=0,x_2=2,x_3=2,x_4=6,x_5=0,x_6=1[/tex3]
E isso se refletiria na seguinte configuração
[tex3]\large\underbrace{\square...\square}_{0\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{2+1=3\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{2+1=3\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{6+1=7\text{ caixas}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{0+1=1\text{ caixa}}{\color{red}\square}\underbrace{\square...\square}_{1\text{ caixa}}[/tex3]
Repare que o fato de eu ter somado 1 a todos os [tex3]x[/tex3] s entre caixas faz com que garantamos que sempre haverá pelo menos uma caixa sem biscoito entre as caixas com biscoito, que é justamente o caso de [tex3]x_5[/tex3] .
Muito obrigado, agora compreendi perfeitamente!
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MateusQqMD 
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Set 2019
07
21:54
Re: Combinatória
Uma outra ideia é pelo Primeiro Lema de Kaplansky.
[tex3]f(20,5) = C^5_{20-5+1} = 4368[/tex3]
viewtopic.php?f=2&t=76151
[tex3]f(20,5) = C^5_{20-5+1} = 4368[/tex3]
viewtopic.php?f=2&t=76151
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
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