IME / ITA ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

Calcule a área sombreada se a circunferência que limita contém o ortocentro do triângulo MNE e AD-DL=K.

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a)[tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

K²
b)[tex3]\frac{\pi K²}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi K²}{2}[/tex3]

c)[tex3]\frac{\pi K²}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pi K²}{4}[/tex3]

d)2 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

K²
e)4 [tex3]\pi [/tex3]

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[tex3]\pi [/tex3]

K²

Resposta

---

c

[Auto Excluído (ID:12031)]

me parece haver um problema:

- o círculo sombreado não é único (dois pontos não determinam um círculo/uma circunferência)

então acho que o enunciado está errado, poderia conferir?

Acho que o diâmetro do círculo menor é MH, nesse caso a resposta é a letra c.
Utiliza o fato de que AD-DL é constante se D estiver na corda NE.

A prova é simples: reflita o círculo em relação a reta NE: teremos um círculo idêntico ao primeiro, mas transladado para baixo, chamemos esse círculo que é um reflexo de X e chamemos de L* o encontro da reta AD com X, logo L* é reflexo de L em relação a NE portanto DL = DL* mas note que L* é a translação do ponto A para o círculo X, logo AD-DL = AD - DL* = AL* é justamente o quanto o círculo original desceu para virar X.
Como calcular esse valor? A distância AL* é constante para todos os pontos do círculo X com seus respectivos no círculo original, em particular ela é a mesma distância entre os centros dos círculos, mas como eles são reflexos um do outro em relação a reta NE essa distância é o dobro da distância do centro do círculo original ao segmento NE.

Agora basta lembrar que esse valor é justamente a distância do vértice M ao ortocentro do triângulo MNE (consequência da homotetia do triângulo medial com o original centrada no baricentro), logo a área do triângulo é [tex3]\pi (\frac k2)^2[/tex3]

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[tex3]\pi (\frac k2)^2[/tex3]