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Seja uma circunferência C1, com centro em A e raio 1, e a circunferência C2 que passa por A, com centro em B e raio 2. Sabendo - se que D é o ponto médio do seguimento AB, E é um dos pontos de interseção entre C1 e C2 e F é a interseção da reta ED com a circunferência C2, o valor da área do triângulo AEF, em unidade de área é:

A) [tex3]2+\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex3]
B) [tex3]1+\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
C) [tex3]\frac{3\sqrt{15}}{8}[/tex3]
D) [tex3]\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
E) [tex3]\frac{5\sqrt{15}}{8}[/tex3]

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A resolução por pura analítica é a seguinte:

É necessário conhecer as coordenadas dos ponto A, E e F pra achar a área desse triângulo

O ponto A é imediato, [tex3](-2,0)[/tex3]

Os pontos E e F são o problema

Montando um sistema com as equações das circuferência

[tex3]\begin{cases}
(x+2)^2+y^2=1 \ (i) \\
x^2+y^2=4 \ (ii)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]y^2=4-x^2 \ (ii)[/tex3]

[tex3](ii) \rightarrow (i)[/tex3]

[tex3](x+2)^2+4-x^2=1[/tex3]

Desenvolvendo, chega-se em [tex3]x=-\frac{7}{4}[/tex3]

Substituindo o valor de x em qualquer uma das equações, vai resultar em 2 valores para y, sendo o valor positivo, aquele que pertence ao ponto E

[tex3]y_1=\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]
[tex3]y_2=-\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex3]

Logo, temos

[tex3]E \(\frac{-7}{4},\frac{\sqrt{15}}{4}\)[/tex3]

Se sabemos as coordenadas de E, então obviamente saberemos as de F, pois [tex3]D \subset \overline{EF} [/tex3]

[tex3]\overline{EF}:y=-\sqrt{\frac{5}{3}}x-\sqrt{\frac{5}{3}}[/tex3]

[tex3]\overline{EF} \cap C_2=\{E,F\}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
y=-\sqrt{\frac{5}{3}}x-\sqrt{\frac{5}{3}} \\
x^2+y^2=4
\end{cases}[/tex3]

Esse sistema vai resultar nas coordenadas de E e F, mas E a gente já conhece, a coordenada F será

[tex3]F\(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{15}}{2}\)[/tex3]

Logo, temos todos os pontos necessário

[tex3]A(-2,0)[/tex3]
[tex3]E \(\frac{-7}{4},\frac{\sqrt{15}}{4}\)[/tex3]
[tex3]F\(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{15}}{2}\)[/tex3]

[tex3]S_{AEF}=\frac{|\Delta|}{2}[/tex3]

[tex3]\Delta =\left| \begin{array}{rcr}
-2 & 0 & 1 \\
\dfrac{-7}{4} & \dfrac{\sqrt{15}}{4} & 1\\
\dfrac{1}{2} & -\frac{\sqrt{15}}{2} & 1
\end{array} \right|[/tex3]

Resolvendo [tex3]\Delta [/tex3] e substituindo em

[tex3]S_{AEF}=\frac{|\Delta|}{2}[/tex3]

Chega-se em [tex3]S_{AEF}=\frac{3\sqrt{15}}{8}[/tex3]

Douglasb2

1° passo: STUART em AEB, para descobrir ED
2° passo: STUART em EBF, para descobrir DF
3° passo: lei dos cossenos em AED, descubro o cosseno e com ele descubro o seno usando a relação fundamental da trigonometria
4° passo: A.2 = AE.EF.Sen(AÊF)

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