IME / ITA ⇒ Simulado IME

[sophiegermain]

Demonstrar que, sendo m inteiro positivo, a parte inteira de [tex3]2+\sqrt{3}[/tex3]

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[tex3]2+\sqrt{3}[/tex3]

é sempre um número ímpar.

[mcarvalho]

Boa noite.

Na verdade, imagino que a expressão seja [tex3](2+\sqrt 3)^m[/tex3]

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[tex3](2+\sqrt 3)^m[/tex3]

. Senão vejamos:

Tome [tex3]a=(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n[/tex3]

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[tex3]a=(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n[/tex3]

[tex3](2+\sqrt 3)^n-(2+\sqrt 3)^n=\\
\sum_{p=0}^{n}{n \choose p}2^{n-p}\cdot 3^{\frac{p}{2}}+\sum_{p=0}^{n}{n \choose p}\(-1\)^p \cdot 2^{n-p}\cdot 3^{\frac{p}{2}}=\\
\sum_{p=0}^{n}{n \choose p}2^{n-p}\(3^{\frac{p}{2}}+(-1)^p\cdot 3^{\frac{p}{2}} \)[/tex3]

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[tex3](2+\sqrt 3)^n-(2+\sqrt 3)^n=\\
\sum_{p=0}^{n}{n \choose p}2^{n-p}\cdot 3^{\frac{p}{2}}+\sum_{p=0}^{n}{n \choose p}\(-1\)^p \cdot 2^{n-p}\cdot 3^{\frac{p}{2}}=\\
\sum_{p=0}^{n}{n \choose p}2^{n-p}\(3^{\frac{p}{2}}+(-1)^p\cdot 3^{\frac{p}{2}} \)[/tex3]

i) Para [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

par, teremos: [tex3]\(3^{\frac{p}{2}}+(-1)^p\cdot 3^{\frac{p}{2}} \)=2\cdot 3^{k}[/tex3]

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[tex3]\(3^{\frac{p}{2}}+(-1)^p\cdot 3^{\frac{p}{2}} \)=2\cdot 3^{k}[/tex3]

, [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

é inteiro
ii) Para [tex3]p[/tex3]

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[tex3]p[/tex3]

ímpar, teremos: [tex3]\(3^{\frac{p}{2}}+(-1)^p\cdot 3^{\frac{p}{2}} \)=0[/tex3]

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[tex3]\(3^{\frac{p}{2}}+(-1)^p\cdot 3^{\frac{p}{2}} \)=0[/tex3]

Então são desprezíveis as parcelas de p ímpar, e as parcelas de p par serão sempre pares. Disso decorre que [tex3]a=(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n[/tex3]

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[tex3]a=(2+\sqrt 3)^n+(2-\sqrt 3)^n[/tex3]

é sempre par.

Sabemos que [tex3]0 \le (2-\sqrt 3)^n \le 1[/tex3]

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[tex3]0 \le (2-\sqrt 3)^n \le 1[/tex3]

. Adicione [tex3](2+\sqrt 3)^n[/tex3]

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[tex3](2+\sqrt 3)^n[/tex3]

à desigualdade. Segue:

[tex3](2+\sqrt 3)^n \le a \le 1+(2+\sqrt 3)^n\\(2+\sqrt 3)^n -1\le a-1 \le (2+\sqrt 3)^n[/tex3]

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[tex3](2+\sqrt 3)^n \le a \le 1+(2+\sqrt 3)^n\\(2+\sqrt 3)^n -1\le a-1 \le (2+\sqrt 3)^n[/tex3]

Aplicando a função piso, e nos concentrando nos dois termos à direita, vem: [tex3]a-1 = ⌊(2+\sqrt 3)^n⌋[/tex3]

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[tex3]a-1 = ⌊(2+\sqrt 3)^n⌋[/tex3]

.

Como [tex3]a[/tex3]

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[tex3]a[/tex3]

é par, segue que, necessariamente, [tex3]a-1=⌊(2+\sqrt 3)^n⌋[/tex3]

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[tex3]a-1=⌊(2+\sqrt 3)^n⌋[/tex3]

é ímpar. QED.

Referências: aqui e aqui.