IME / ITA ⇒ Simulado IME - Polinômios

[sophiegermain]

Provar que [tex3]x^8 - x^5 + x^2 - x +1 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^8 - x^5 + x^2 - x +1 [/tex3]

é positivo para todo x real.
Seguinte, tem um forma de fazer isso sem apelar para cálculo? Porque minha ideia inicial foi:

P(x) -1 = x(x-1)(x⁴[x²+x+1] +1)

Terceiro fator é sempre positivo, e raízes reais seriam zero e 1. Além disso, com x tendendo para -inf, o gráfico tende para +inf, então eu já provou que quando menor que zero ele é sempre positivo. Mas não há uma solução fácil para as raízes da derivada do polinômio para que eu prove que o mínimo local entre 0 e 1 é menor que 1. Porque somando "+1" depois a função sempre seria positiva pelo fato de o gráfico deslocar uma unidade pra cima

[Nickds]

Multiplique por x e ordene os termos

P*x = (x^8 - x^5 + x^2 - x +1)*x
P*x = x^9 - x^6 + x^3 - x^2 + x
P*x = x^3(x^6) - x^6 + x(x^2) - x^2 + x
P*x = x^6(x^3-1) + x^2(x-1) + x
P*x = (x^2)(x^2)(x^2)(x^3-1) + x^2(x-1) + x
P*x = (x^3-1)((x^2)(x^2)(x^2)+1) + x

Multiplicando mais uma vez por x

P*x^2 = (x^4-x)((x^2)(x^2)(x^2)+1) + x^2

x^4-x é um termo sempre positivo porque o número maior da subtração (x^4) é sempre positivo
P*x^2 é um termo positivo e como x^2 é sempre positivo, P é sempre positivo para qualquer valor real

Essa foi difícil. Mas nada que com calma não se resolva. Abraços.