IME / ITA ⇒ Geometria plana / Ime Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Ago 2019
11
15:03
Geometria plana / Ime
Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I o ponto de interseção de suas diagonais. As projeções ortogonais de I sobre os lados AB, BC,CD e DA são, respectivamente, M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscritivel a um circulo com centro em I.
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Ago 2019
11
15:36
Re: Geometria plana / Ime
é bem tranquilo, vou provar que [tex3]MI[/tex3]
repare que o quadrilátero [tex3]AMIQ[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle AMI + \angle IQA = 90 + 90 = 180[/tex3]
portanto [tex3]\angle DAC = \angle QAI = \angle QMI[/tex3] que enxerga o arco [tex3]DC[/tex3]
analogamente o quadrilátero [tex3]MBNI[/tex3] é cíclico e então: [tex3]\angle IMN = \angle IBN = \angle DBC[/tex3] que enxerga o arco [tex3]DC[/tex3] também, logo [tex3]\angle IMN = \angle QMI[/tex3] e portanto a reta [tex3]MI[/tex3] é bissetriz de [tex3]MN[/tex3] e [tex3]MQ[/tex3] .
Esse resultado vale para todos os lados do quadrilátero MNPQ, logo o ponto I está na bissetriz de todos os quatro ângulos, logo o ponto I equidista dos 4 lados do quadrilátero, sendo então o centro de uma circunferência inscrita no mesmo. (a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes)
é bissetriz de [tex3]MN[/tex3]
e [tex3]MQ[/tex3]
:repare que o quadrilátero [tex3]AMIQ[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle AMI + \angle IQA = 90 + 90 = 180[/tex3]
portanto [tex3]\angle DAC = \angle QAI = \angle QMI[/tex3] que enxerga o arco [tex3]DC[/tex3]
analogamente o quadrilátero [tex3]MBNI[/tex3] é cíclico e então: [tex3]\angle IMN = \angle IBN = \angle DBC[/tex3] que enxerga o arco [tex3]DC[/tex3] também, logo [tex3]\angle IMN = \angle QMI[/tex3] e portanto a reta [tex3]MI[/tex3] é bissetriz de [tex3]MN[/tex3] e [tex3]MQ[/tex3] .
Esse resultado vale para todos os lados do quadrilátero MNPQ, logo o ponto I está na bissetriz de todos os quatro ângulos, logo o ponto I equidista dos 4 lados do quadrilátero, sendo então o centro de uma circunferência inscrita no mesmo. (a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes)
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 11 Ago, 2019 20:44). Total de 4 vezes.
Ago 2019
11
19:29
Re: Geometria plana / Ime
Obrigado colega pela solução, porém não seria o quadrilátero MBNI que seria cíclico? Ao invés do AMIN?
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Ago 2019
11
21:12
Re: Geometria plana / Ime
Entendi colega, muito obrigado pela solução, ajudou bastante
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