IME / ITA ⇒ Geometria plana / Ime Tópico resolvido

[Waterloo]

Seja ABCD um quadrilátero convexo inscrito num círculo e seja I o ponto de interseção de suas diagonais. As projeções ortogonais de I sobre os lados AB, BC,CD e DA são, respectivamente, M,N,P e Q. Prove que o quadrilátero MNPQ é circunscritivel a um circulo com centro em I.

[Auto Excluído (ID:12031)]

é bem tranquilo, vou provar que [tex3]MI[/tex3]

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[tex3]MI[/tex3]

é bissetriz de [tex3]MN[/tex3]

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[tex3]MN[/tex3]

e [tex3]MQ[/tex3]

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[tex3]MQ[/tex3]

:

repare que o quadrilátero [tex3]AMIQ[/tex3]

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[tex3]AMIQ[/tex3]

é cíclico pois [tex3]\angle AMI + \angle IQA = 90 + 90 = 180[/tex3]

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[tex3]\angle AMI + \angle IQA = 90 + 90 = 180[/tex3]

portanto [tex3]\angle DAC = \angle QAI = \angle QMI[/tex3]

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[tex3]\angle DAC = \angle QAI = \angle QMI[/tex3]

que enxerga o arco [tex3]DC[/tex3]

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[tex3]DC[/tex3]

analogamente o quadrilátero [tex3]MBNI[/tex3]

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[tex3]MBNI[/tex3]

é cíclico e então: [tex3]\angle IMN = \angle IBN = \angle DBC[/tex3]

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[tex3]\angle IMN = \angle IBN = \angle DBC[/tex3]

que enxerga o arco [tex3]DC[/tex3]

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[tex3]DC[/tex3]

também, logo [tex3]\angle IMN = \angle QMI[/tex3]

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[tex3]\angle IMN = \angle QMI[/tex3]

e portanto a reta [tex3]MI[/tex3]

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[tex3]MI[/tex3]

é bissetriz de [tex3]MN[/tex3]

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[tex3]MN[/tex3]

e [tex3]MQ[/tex3]

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[tex3]MQ[/tex3]

.

Esse resultado vale para todos os lados do quadrilátero MNPQ, logo o ponto I está na bissetriz de todos os quatro ângulos, logo o ponto I equidista dos 4 lados do quadrilátero, sendo então o centro de uma circunferência inscrita no mesmo. (a bissetriz é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de duas retas concorrentes)

[Waterloo]

Obrigado colega pela solução, porém não seria o quadrilátero MBNI que seria cíclico? Ao invés do AMIN?

[Auto Excluído (ID:12031)]

acho que eu inverti N e Q, está corrigido eu acho

[Waterloo]

Entendi colega, muito obrigado pela solução, ajudou bastante