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ITA Equação Função Trigonométrica Inversa
Matheusrpb escreveu: ↑06 Ago 2019, 21:22 Boa noite !
[tex3]\arctg ( e^{x} + 2 )\space \therefore \space tg \theta = e^{x} + 2 [/tex3]
[tex3]\arccotg ( \frac{e^x}{e^{2x} - 1}) \space \therefore \space \tg \beta = ( \frac{e^{2x} - 1}{e^x}) [/tex3]
[tex3]\theta - \beta = 45° \space \therefore \space \tg(\theta - \beta ) = tg(45°) \space \therefore \space \tg(\theta - \beta) = 1[/tex3]
[tex3]\tg(\theta - \beta) = \frac{\tg \theta - \tg \beta}{1 + \tg \theta \cdot \tg \beta} [/tex3]
[tex3]\tg(45°) = \frac{e^x + 2 - ( \frac{e^{2x} - 1}{e^x})}{1 + \frac {(e^x + 2)\cdot (e^{2x} -1)}{e^x}}[/tex3]
Fazendo essa conta, você vai chegar na seguinte expressão:
[tex3]e^{3x} + 2e^{2x} - 2e^x - 3 = 0 [/tex3]
Fazendo uma substituição de variável:
[tex3]k = e^x [/tex3]
[tex3]k^3 + 2k^2 - 2k - 3 = 0 [/tex3]
Como ( -1 ) é raíz, podemos diminuir o grau do polinômio por Briot-Ruffini e chegaremos na seguinte equação:
[tex3]k^2 + k - 3 = 0 \space \therefore \space k = \frac {-1 \pm \sqrt{13}}{2} [/tex3]
[tex3]I. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = -1 \space \therefore \space x = \ln(-1)[/tex3]
[tex3]II. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{2} \space \therefore \space x = \ln(\frac{-1 - \sqrt{13}}{2})[/tex3]
[tex3]III. \space e^x = k \space \therefore \space e^x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \space \therefore \space x = \ln(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) [/tex3]
[tex3]\log_{b}{a} \rightarrow a >0 [/tex3]
Dessa forma, a única solução possível será a [tex3]\ III [/tex3] :
[tex3]x = \ln(\frac{-1 + \sqrt{13}}{2}) \rightarrow \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} > 1 \space \therefore \space x > 0 [/tex3]
