Ensino Médio(Nível IME/ITA) Geometria Plana

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
jvmago
5 - Mestre
Mensagens: 2713
Registrado em: Qui 06 Jul, 2017 14:54
Última visita: 24-02-24
Set 2020 27 14:35

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por jvmago »

FelipeMartin escreveu:
Dom 27 Set, 2020 14:21
jvmago, um jeito de mostrar que [tex3]O[/tex3] está na mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ver na verdade que tanto [tex3]M[/tex3] está na mediatriz (pois [tex3]PM = QM[/tex3] ) quanto [tex3]B[/tex3] está na mediatriz pois [tex3]\triangle BCQ \equiv \triangle BAP[/tex3] por LAL em A e C
Lol de fato, é bem mais simples!



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Ago 2022 25 12:48

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin, por que mesmo PQ é mediatriz de OM?
Hr he......




Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Ago 2022 25 18:49

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

geobson escreveu:
Qui 25 Ago, 2022 12:48
FelipeMartin, por que mesmo PQ é mediatriz de OM?
Hr he......
Elucida isso pra mim! Por gentileza, meu amigo!



FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2194
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Ago 2022 26 05:03

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por FelipeMartin »

geobson, [tex3]\color{Red}{OM \text{ é mediatriz de } PQ \text{ e não o contrário.}}[/tex3]

A prova é exatamente o que eu escrevi: [tex3]B,M[/tex3] e [tex3]O[/tex3] são alinhados, então, vou provar que [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ai [tex3]OM[/tex3] também será.

Vou usar o desenho do jvmago:
jvmago.jpeg
jvmago.jpeg (73.79 KiB) Exibido 519 vezes
Vou provar que [tex3]\triangle BCQ \cong \triangle BAP[/tex3] por LAL em [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] :

Primeiro o básico do básico: Como [tex3]OB \perp AC[/tex3] , então sabemos que [tex3]BA = BC[/tex3] , pois, a reta [tex3]BO[/tex3] é necessariamente a mediatriz de [tex3]AC[/tex3] por ser perpendicular à corda [tex3]AC[/tex3] e passar por [tex3]O[/tex3] . Além disso, [tex3]\triangle MBA \cong \triangle MBC[/tex3] , pois são triângulos retângulos de mesmos catetos: [tex3]MB[/tex3] e [tex3]BA=BC[/tex3] , logo, [tex3]AM = CM[/tex3] e [tex3]\angle ACM = \angle MAC = 45^{\circ}[/tex3] .

Segundo:
[tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \angle DAM = \angle A'CM[/tex3] , e, como [tex3]\angle MAC = \angle MCA = 45^{\circ}[/tex3] , temos que:

[tex3]\angle BAP = \angle BCQ[/tex3] .

Terceiro: [tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \triangle CMA' \sim \triangle AMD[/tex3] ,e, como [tex3]AM = MC[/tex3] , temos que [tex3]\triangle CMA' \cong \triangle AMD[/tex3] . Definam-se [tex3]\angle DAM = \theta[/tex3] e [tex3]\angle ADM = \alpha[/tex3] , de forma que [tex3]\theta + \alpha = 90^{\circ}[/tex3] ):

[tex3]\angle A'MB' = \theta \implies \angle AMP = \theta[/tex3]

Analogamente:

[tex3]\angle AMP' = \alpha \implies \angle A'MQ = \alpha \implies CMQ = \theta[/tex3]

Logo, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]CQ = AP[/tex3] .

Pronto, o LAL está completo: [tex3]\triangle BAP \cong \triangle BCQ \implies \boxed{ BP = BQ}[/tex3] .

Agora o ponto [tex3]M[/tex3] é fácil, pois, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]\boxed{MQ = MP}[/tex3] .

Então [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] , logo, [tex3]OM[/tex3] também é.
Última edição: FelipeMartin (Sex 26 Ago, 2022 05:04). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Ago 2022 26 05:27

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin escreveu:
Sex 26 Ago, 2022 05:03
geobson, [tex3]\color{Red}{OM \text{ é mediatriz de } PQ \text{ e não o contrário.}}[/tex3]

A prova é exatamente o que eu escrevi: [tex3]B,M[/tex3] e [tex3]O[/tex3] são alinhados, então, vou provar que [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ai [tex3]OM[/tex3] também será.

Vou usar o desenho do jvmago:

jvmago.jpeg

Vou provar que [tex3]\triangle BCQ \cong \triangle BAP[/tex3] por LAL em [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] :

Primeiro o básico do básico: Como [tex3]OB \perp AC[/tex3] , então sabemos que [tex3]BA = BC[/tex3] , pois, a reta [tex3]BO[/tex3] é necessariamente a mediatriz de [tex3]AC[/tex3] por ser perpendicular à corda [tex3]AC[/tex3] e passar por [tex3]O[/tex3] . Além disso, [tex3]\triangle MBA \cong \triangle MBC[/tex3] , pois são triângulos retângulos de mesmos catetos: [tex3]MB[/tex3] e [tex3]BA=BC[/tex3] , logo, [tex3]AM = CM[/tex3] e [tex3]\angle ACM = \angle MAC = 45^{\circ}[/tex3] .

Segundo:
[tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \angle DAM = \angle A'CM[/tex3] , e, como [tex3]\angle MAC = \angle MCA = 45^{\circ}[/tex3] , temos que:

[tex3]\angle BAP = \angle BCQ[/tex3] .

Terceiro: [tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \triangle CMA' \sim \triangle AMD[/tex3] ,e, como [tex3]AM = MC[/tex3] , temos que [tex3]\triangle CMA' \cong \triangle AMD[/tex3] . Definam-se [tex3]\angle DAM = \theta[/tex3] e [tex3]\angle ADM = \alpha[/tex3] , de forma que [tex3]\theta + \alpha = 90^{\circ}[/tex3] ):

[tex3]\angle A'MB' = \theta \implies \angle AMP = \theta[/tex3]

Analogamente:

[tex3]\angle AMP' = \alpha \implies \angle A'MQ = \alpha \implies CMQ = \theta[/tex3]

Logo, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]CQ = AP[/tex3] .

Pronto, o LAL está completo: [tex3]\triangle BAP \cong \triangle BCQ \implies \boxed{ BP = BQ}[/tex3] .

Agora o ponto [tex3]M[/tex3] é fácil, pois, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]\boxed{MQ = MP}[/tex3] .

Então [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] , logo, [tex3]OM[/tex3] também é.
Tudo bem entendi isso tudo ...o que nao entendo é como ele concluiu que ( aproveitando o desenho de Petras) MF=1
Logo PQ também é mediatriz de OM..num é não ....ou estou divagando?
Por que a partir dessa dedução (MF=FO=1;PQ mediatriz de MO portanto) é que se conclui o angulo MPQ= 53/2. Não?
Anexos
fig2.jpg
fig2.jpg (25.19 KiB) Exibido 504 vezes
Última edição: geobson (Sex 26 Ago, 2022 06:49). Total de 6 vezes.



Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Ago 2022 26 05:33

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin, aproveitando o ensejo ....elucida pra mim isso ....também ..he he
Por que OP e OQ são medianas mesmo?
Anexos
Screenshot_2022-08-26-05-23-32-1.png
Screenshot_2022-08-26-05-23-32-1.png (117.93 KiB) Exibido 510 vezes



FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2194
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Ago 2022 26 07:06

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por FelipeMartin »

geobson, você está certo, realmente [tex3]PQ[/tex3] é mediatriz de [tex3]OM[/tex3] .

vou usar o desenho do Petras:

download/file.php?id=60301

[tex3]\angle CAM = 45^{\circ} \iff \angle CAE = 45^{\circ} \iff \angle COE = 90^{\circ}[/tex3] .
Agora:
Como o [tex3]\triangle QCM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QC = QM[/tex3]
Como o [tex3]\triangle QEM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QM = QE \implies QC = QM = QE[/tex3] . Então, [tex3]Q[/tex3] é ponto médio de [tex3]CE[/tex3] .

Como [tex3]Q[/tex3] é ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [tex3]\triangle COE[/tex3] , então, [tex3]QE = QO = QC = QM[/tex3] .
Pronto:
[tex3]Q[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
Analogamente:
[tex3]P[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
segue que [tex3]PMQO[/tex3] é um losango
Última edição: FelipeMartin (Sex 26 Ago, 2022 07:18). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

FelipeMartin
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 2194
Registrado em: Sáb 04 Jul, 2020 10:47
Última visita: 27-03-24
Ago 2022 26 07:17

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por FelipeMartin »

geobson, sua segunda dúvida:

São medianas pelo mesmo motivo:

os triângulos ABO e OCD são semelhantes por terem os três ângulos iguais (pois o ângulo D é igual ao B e o ângulo O é comum)

Seja X o pé da altura de O em AB.
Seja Y o pé da altura de O em CD.
Os triângulos OAX e OCY têm os mesmos ângulos no vértice O. Chame esse ângulo p.
Veja que, no triângulo OPD, o ângulo no vértice O é p por ser oposto ao ângulo <AOX.
Pronto: a reta OP é conjugada isogonal da altura OY no triângulo retângulo OCD, logo, P é o circuncêntro do triângulo OCD, que é o pondo médio de CD.
Só fiquei na dúvida do porquê o triângulo OCD é retângulo

EDIT: ângulo BOD = 90º, isso prova que OCD é retângulo
Última edição: FelipeMartin (Sex 26 Ago, 2022 07:20). Total de 1 vez.


φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.

Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Ago 2022 26 07:57

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin escreveu:
Sex 26 Ago, 2022 07:06
geobson, você está certo, realmente [tex3]PQ[/tex3] é mediatriz de [tex3]OM[/tex3] .

vou usar o desenho do Petras:

download/file.php?id=60301

[tex3]\angle CAM = 45^{\circ} \iff \angle CAE = 45^{\circ} \iff \angle COE = 90^{\circ}[/tex3] .
Agora:
Como o [tex3]\triangle QCM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QC = QM[/tex3]
Como o [tex3]\triangle QEM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QM = QE \implies QC = QM = QE[/tex3] . Então, [tex3]Q[/tex3] é ponto médio de [tex3]CE[/tex3] .

Como [tex3]Q[/tex3] é ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [tex3]\triangle COE[/tex3] , então, [tex3]QE = QO = QC = QM[/tex3] .
Pronto:
[tex3]Q[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
Analogamente:
[tex3]P[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
segue que [tex3]PMQO[/tex3] é um losango
Obrigado!
Agora entendi perfeitamente!



Avatar do usuário
geobson
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 3764
Registrado em: Dom 02 Jun, 2013 20:01
Última visita: 25-03-24
Ago 2022 26 07:58

Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana

Mensagem não lida por geobson »

FelipeMartin escreveu:
Sex 26 Ago, 2022 07:17
geobson, sua segunda dúvida:

São medianas pelo mesmo motivo:

os triângulos ABO e OCD são semelhantes por terem os três ângulos iguais (pois o ângulo D é igual ao B e o ângulo O é comum)

Seja X o pé da altura de O em AB.
Seja Y o pé da altura de O em CD.
Os triângulos OAX e OCY têm os mesmos ângulos no vértice O. Chame esse ângulo p.
Veja que, no triângulo OPD, o ângulo no vértice O é p por ser oposto ao ângulo <AOX.
Pronto: a reta OP é conjugada isogonal da altura OY no triângulo retângulo OCD, logo, P é o circuncêntro do triângulo OCD, que é o pondo médio de CD.
Só fiquei na dúvida do porquê o triângulo OCD é retângulo

EDIT: ângulo BOD = 90º, isso prova que OCD é retângulo
Obrigado! Perfeito agora!




Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Seg 19 Jun, 2023 13:09 por ALDRIN

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Ensino Médio”