Lol de fato, é bem mais simples!FelipeMartin escreveu: ↑Dom 27 Set, 2020 14:21jvmago, um jeito de mostrar que [tex3]O[/tex3] está na mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ver na verdade que tanto [tex3]M[/tex3] está na mediatriz (pois [tex3]PM = QM[/tex3] ) quanto [tex3]B[/tex3] está na mediatriz pois [tex3]\triangle BCQ \equiv \triangle BAP[/tex3] por LAL em A e C
Ensino Médio ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana
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Set 2020
27
14:35
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Ago 2022
25
12:48
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
FelipeMartin, por que mesmo PQ é mediatriz de OM?
Hr he......
Hr he......
Ago 2022
25
18:49
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Elucida isso pra mim! Por gentileza, meu amigo!
-
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Ago 2022
26
05:03
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
geobson, [tex3]\color{Red}{OM \text{ é mediatriz de } PQ \text{ e não o contrário.}}[/tex3]
A prova é exatamente o que eu escrevi: [tex3]B,M[/tex3] e [tex3]O[/tex3] são alinhados, então, vou provar que [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ai [tex3]OM[/tex3] também será.
Vou usar o desenho do jvmago:
Vou provar que [tex3]\triangle BCQ \cong \triangle BAP[/tex3] por LAL em [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] :
Primeiro o básico do básico: Como [tex3]OB \perp AC[/tex3] , então sabemos que [tex3]BA = BC[/tex3] , pois, a reta [tex3]BO[/tex3] é necessariamente a mediatriz de [tex3]AC[/tex3] por ser perpendicular à corda [tex3]AC[/tex3] e passar por [tex3]O[/tex3] . Além disso, [tex3]\triangle MBA \cong \triangle MBC[/tex3] , pois são triângulos retângulos de mesmos catetos: [tex3]MB[/tex3] e [tex3]BA=BC[/tex3] , logo, [tex3]AM = CM[/tex3] e [tex3]\angle ACM = \angle MAC = 45^{\circ}[/tex3] .
Segundo:
[tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \angle DAM = \angle A'CM[/tex3] , e, como [tex3]\angle MAC = \angle MCA = 45^{\circ}[/tex3] , temos que:
[tex3]\angle BAP = \angle BCQ[/tex3] .
Terceiro: [tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \triangle CMA' \sim \triangle AMD[/tex3] ,e, como [tex3]AM = MC[/tex3] , temos que [tex3]\triangle CMA' \cong \triangle AMD[/tex3] . Definam-se [tex3]\angle DAM = \theta[/tex3] e [tex3]\angle ADM = \alpha[/tex3] , de forma que [tex3]\theta + \alpha = 90^{\circ}[/tex3] ):
[tex3]\angle A'MB' = \theta \implies \angle AMP = \theta[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\angle AMP' = \alpha \implies \angle A'MQ = \alpha \implies CMQ = \theta[/tex3]
Logo, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]CQ = AP[/tex3] .
Pronto, o LAL está completo: [tex3]\triangle BAP \cong \triangle BCQ \implies \boxed{ BP = BQ}[/tex3] .
Agora o ponto [tex3]M[/tex3] é fácil, pois, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]\boxed{MQ = MP}[/tex3] .
Então [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] , logo, [tex3]OM[/tex3] também é.
A prova é exatamente o que eu escrevi: [tex3]B,M[/tex3] e [tex3]O[/tex3] são alinhados, então, vou provar que [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ai [tex3]OM[/tex3] também será.
Vou usar o desenho do jvmago:
Vou provar que [tex3]\triangle BCQ \cong \triangle BAP[/tex3] por LAL em [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] :
Primeiro o básico do básico: Como [tex3]OB \perp AC[/tex3] , então sabemos que [tex3]BA = BC[/tex3] , pois, a reta [tex3]BO[/tex3] é necessariamente a mediatriz de [tex3]AC[/tex3] por ser perpendicular à corda [tex3]AC[/tex3] e passar por [tex3]O[/tex3] . Além disso, [tex3]\triangle MBA \cong \triangle MBC[/tex3] , pois são triângulos retângulos de mesmos catetos: [tex3]MB[/tex3] e [tex3]BA=BC[/tex3] , logo, [tex3]AM = CM[/tex3] e [tex3]\angle ACM = \angle MAC = 45^{\circ}[/tex3] .
Segundo:
[tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \angle DAM = \angle A'CM[/tex3] , e, como [tex3]\angle MAC = \angle MCA = 45^{\circ}[/tex3] , temos que:
[tex3]\angle BAP = \angle BCQ[/tex3] .
Terceiro: [tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \triangle CMA' \sim \triangle AMD[/tex3] ,e, como [tex3]AM = MC[/tex3] , temos que [tex3]\triangle CMA' \cong \triangle AMD[/tex3] . Definam-se [tex3]\angle DAM = \theta[/tex3] e [tex3]\angle ADM = \alpha[/tex3] , de forma que [tex3]\theta + \alpha = 90^{\circ}[/tex3] ):
[tex3]\angle A'MB' = \theta \implies \angle AMP = \theta[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\angle AMP' = \alpha \implies \angle A'MQ = \alpha \implies CMQ = \theta[/tex3]
Logo, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]CQ = AP[/tex3] .
Pronto, o LAL está completo: [tex3]\triangle BAP \cong \triangle BCQ \implies \boxed{ BP = BQ}[/tex3] .
Agora o ponto [tex3]M[/tex3] é fácil, pois, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]\boxed{MQ = MP}[/tex3] .
Então [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] , logo, [tex3]OM[/tex3] também é.
Última edição: FelipeMartin (Sex 26 Ago, 2022 05:04). Total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Ago 2022
26
05:27
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Tudo bem entendi isso tudo ...o que nao entendo é como ele concluiu que ( aproveitando o desenho de Petras) MF=1FelipeMartin escreveu: ↑Sex 26 Ago, 2022 05:03geobson, [tex3]\color{Red}{OM \text{ é mediatriz de } PQ \text{ e não o contrário.}}[/tex3]
A prova é exatamente o que eu escrevi: [tex3]B,M[/tex3] e [tex3]O[/tex3] são alinhados, então, vou provar que [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] e ai [tex3]OM[/tex3] também será.
Vou usar o desenho do jvmago:
jvmago.jpeg
Vou provar que [tex3]\triangle BCQ \cong \triangle BAP[/tex3] por LAL em [tex3]A[/tex3] e [tex3]C[/tex3] :
Primeiro o básico do básico: Como [tex3]OB \perp AC[/tex3] , então sabemos que [tex3]BA = BC[/tex3] , pois, a reta [tex3]BO[/tex3] é necessariamente a mediatriz de [tex3]AC[/tex3] por ser perpendicular à corda [tex3]AC[/tex3] e passar por [tex3]O[/tex3] . Além disso, [tex3]\triangle MBA \cong \triangle MBC[/tex3] , pois são triângulos retângulos de mesmos catetos: [tex3]MB[/tex3] e [tex3]BA=BC[/tex3] , logo, [tex3]AM = CM[/tex3] e [tex3]\angle ACM = \angle MAC = 45^{\circ}[/tex3] .
Segundo:
[tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \angle DAM = \angle A'CM[/tex3] , e, como [tex3]\angle MAC = \angle MCA = 45^{\circ}[/tex3] , temos que:
[tex3]\angle BAP = \angle BCQ[/tex3] .
Terceiro: [tex3]\angle ADC = \angle AA'C \implies \triangle CMA' \sim \triangle AMD[/tex3] ,e, como [tex3]AM = MC[/tex3] , temos que [tex3]\triangle CMA' \cong \triangle AMD[/tex3] . Definam-se [tex3]\angle DAM = \theta[/tex3] e [tex3]\angle ADM = \alpha[/tex3] , de forma que [tex3]\theta + \alpha = 90^{\circ}[/tex3] ):
[tex3]\angle A'MB' = \theta \implies \angle AMP = \theta[/tex3]
Analogamente:
[tex3]\angle AMP' = \alpha \implies \angle A'MQ = \alpha \implies CMQ = \theta[/tex3]
Logo, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]CQ = AP[/tex3] .
Pronto, o LAL está completo: [tex3]\triangle BAP \cong \triangle BCQ \implies \boxed{ BP = BQ}[/tex3] .
Agora o ponto [tex3]M[/tex3] é fácil, pois, [tex3]\triangle AMP \cong \triangle CMQ[/tex3] por AAL nos lados [tex3]AM[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] . Logo, [tex3]\boxed{MQ = MP}[/tex3] .
Então [tex3]BM[/tex3] é mediatriz de [tex3]PQ[/tex3] , logo, [tex3]OM[/tex3] também é.
Logo PQ também é mediatriz de OM..num é não ....ou estou divagando?
Por que a partir dessa dedução (MF=FO=1;PQ mediatriz de MO portanto) é que se conclui o angulo MPQ= 53/2. Não?
- Anexos
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- fig2.jpg (25.19 KiB) Exibido 525 vezes
Última edição: geobson (Sex 26 Ago, 2022 06:49). Total de 6 vezes.
Ago 2022
26
05:33
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
FelipeMartin, aproveitando o ensejo ....elucida pra mim isso ....também ..he he
Por que OP e OQ são medianas mesmo?
Por que OP e OQ são medianas mesmo?
- Anexos
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- Screenshot_2022-08-26-05-23-32-1.png (117.93 KiB) Exibido 531 vezes
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Ago 2022
26
07:06
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
geobson, você está certo, realmente [tex3]PQ[/tex3]
é mediatriz de [tex3]OM[/tex3]
.
vou usar o desenho do Petras:
download/file.php?id=60301
[tex3]\angle CAM = 45^{\circ} \iff \angle CAE = 45^{\circ} \iff \angle COE = 90^{\circ}[/tex3] .
Agora:
Como o [tex3]\triangle QCM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QC = QM[/tex3]
Como o [tex3]\triangle QEM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QM = QE \implies QC = QM = QE[/tex3] . Então, [tex3]Q[/tex3] é ponto médio de [tex3]CE[/tex3] .
Como [tex3]Q[/tex3] é ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [tex3]\triangle COE[/tex3] , então, [tex3]QE = QO = QC = QM[/tex3] .
Pronto:
[tex3]Q[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
Analogamente:
[tex3]P[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
segue que [tex3]PMQO[/tex3] é um losango
vou usar o desenho do Petras:
download/file.php?id=60301
[tex3]\angle CAM = 45^{\circ} \iff \angle CAE = 45^{\circ} \iff \angle COE = 90^{\circ}[/tex3] .
Agora:
Como o [tex3]\triangle QCM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QC = QM[/tex3]
Como o [tex3]\triangle QEM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QM = QE \implies QC = QM = QE[/tex3] . Então, [tex3]Q[/tex3] é ponto médio de [tex3]CE[/tex3] .
Como [tex3]Q[/tex3] é ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [tex3]\triangle COE[/tex3] , então, [tex3]QE = QO = QC = QM[/tex3] .
Pronto:
[tex3]Q[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
Analogamente:
[tex3]P[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
segue que [tex3]PMQO[/tex3] é um losango
Última edição: FelipeMartin (Sex 26 Ago, 2022 07:18). Total de 1 vez.
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Ago 2022
26
07:17
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
geobson, sua segunda dúvida:
São medianas pelo mesmo motivo:
os triângulos ABO e OCD são semelhantes por terem os três ângulos iguais (pois o ângulo D é igual ao B e o ângulo O é comum)
Seja X o pé da altura de O em AB.
Seja Y o pé da altura de O em CD.
Os triângulos OAX e OCY têm os mesmos ângulos no vértice O. Chame esse ângulo p.
Veja que, no triângulo OPD, o ângulo no vértice O é p por ser oposto ao ângulo <AOX.
Pronto: a reta OP é conjugada isogonal da altura OY no triângulo retângulo OCD, logo, P é o circuncêntro do triângulo OCD, que é o pondo médio de CD.
Só fiquei na dúvida do porquê o triângulo OCD é retângulo
EDIT: ângulo BOD = 90º, isso prova que OCD é retângulo
São medianas pelo mesmo motivo:
os triângulos ABO e OCD são semelhantes por terem os três ângulos iguais (pois o ângulo D é igual ao B e o ângulo O é comum)
Seja X o pé da altura de O em AB.
Seja Y o pé da altura de O em CD.
Os triângulos OAX e OCY têm os mesmos ângulos no vértice O. Chame esse ângulo p.
Veja que, no triângulo OPD, o ângulo no vértice O é p por ser oposto ao ângulo <AOX.
Pronto: a reta OP é conjugada isogonal da altura OY no triângulo retângulo OCD, logo, P é o circuncêntro do triângulo OCD, que é o pondo médio de CD.
Só fiquei na dúvida do porquê o triângulo OCD é retângulo
EDIT: ângulo BOD = 90º, isso prova que OCD é retângulo
Última edição: FelipeMartin (Sex 26 Ago, 2022 07:20). Total de 1 vez.
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Ago 2022
26
07:57
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Obrigado!FelipeMartin escreveu: ↑Sex 26 Ago, 2022 07:06geobson, você está certo, realmente [tex3]PQ[/tex3] é mediatriz de [tex3]OM[/tex3] .
vou usar o desenho do Petras:
download/file.php?id=60301
[tex3]\angle CAM = 45^{\circ} \iff \angle CAE = 45^{\circ} \iff \angle COE = 90^{\circ}[/tex3] .
Agora:
Como o [tex3]\triangle QCM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QC = QM[/tex3]
Como o [tex3]\triangle QEM[/tex3] é [tex3]Q-[/tex3] isósceles, temos [tex3]QM = QE \implies QC = QM = QE[/tex3] . Então, [tex3]Q[/tex3] é ponto médio de [tex3]CE[/tex3] .
Como [tex3]Q[/tex3] é ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [tex3]\triangle COE[/tex3] , então, [tex3]QE = QO = QC = QM[/tex3] .
Pronto:
[tex3]Q[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
Analogamente:
[tex3]P[/tex3] está na mediatriz de [tex3]MO[/tex3]
segue que [tex3]PMQO[/tex3] é um losango
Agora entendi perfeitamente!
Ago 2022
26
07:58
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Obrigado! Perfeito agora!FelipeMartin escreveu: ↑Sex 26 Ago, 2022 07:17geobson, sua segunda dúvida:
São medianas pelo mesmo motivo:
os triângulos ABO e OCD são semelhantes por terem os três ângulos iguais (pois o ângulo D é igual ao B e o ângulo O é comum)
Seja X o pé da altura de O em AB.
Seja Y o pé da altura de O em CD.
Os triângulos OAX e OCY têm os mesmos ângulos no vértice O. Chame esse ângulo p.
Veja que, no triângulo OPD, o ângulo no vértice O é p por ser oposto ao ângulo <AOX.
Pronto: a reta OP é conjugada isogonal da altura OY no triângulo retângulo OCD, logo, P é o circuncêntro do triângulo OCD, que é o pondo médio de CD.
Só fiquei na dúvida do porquê o triângulo OCD é retângulo
EDIT: ângulo BOD = 90º, isso prova que OCD é retângulo
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