Ensino Médio ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido

[Flavio2020]

Calcular a área da região triangular ABC, se: CK=a (T é ponto de tangência).

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a) a²
b) 2a²
c) 3a²
d) [tex3]\frac{a²}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a²}{2}[/tex3]

e) [tex3]\frac{3a²}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{3a²}{2}[/tex3]

Resposta

---

a

[jvmago]

--------------------------------UP------------------------------

[Auto Excluído (ID:12031)]

Seja [tex3]T'[/tex3]

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[tex3]T'[/tex3]

o ponto diametralmente oposto ao ponto [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

então [tex3]BT' \cap AC = X[/tex3]

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[tex3]BT' \cap AC = X[/tex3]

onde [tex3]X[/tex3]

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[tex3]X[/tex3]

é ponto de contato da ex-inscrita do vértice B.
Prova: B é centro de homotetia entre o círculo inscrito e o ex-inscrito pelo vértice B, pois é o encontro das tangentes comuns aos círculos.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Além do que eu disse acima: [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

está na circunferência que passa por [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

pois [tex3]T'T \perp AC[/tex3]

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[tex3]T'T \perp AC[/tex3]

logo [tex3]T[/tex3]

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[tex3]T[/tex3]

enxerga a circunferência que passa por [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

com um ângulo reto, logo enxerga seu diâmetro com um ângulo reto e portanto está na circunferência.
A reta unindo o centro dos círculos é base média do triângulo retângulo [tex3]\Delta TT'X[/tex3]

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[tex3]\Delta TT'X[/tex3]

logo é paralela à [tex3]AC[/tex3]

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[tex3]AC[/tex3]

. E, sendo [tex3]a'[/tex3]

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[tex3]a'[/tex3]

o lado oposto ao vértice [tex3]A[/tex3]

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[tex3]A[/tex3]

e [tex3]c[/tex3]

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[tex3]c[/tex3]

o lado oposto ao vértice [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

: [tex3]TX = \frac{a'-c}2[/tex3]

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[tex3]TX = \frac{a'-c}2[/tex3]

A potência de [tex3]C[/tex3]

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[tex3]C[/tex3]

em relação ao círculo que passa por [tex3]K[/tex3]

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[tex3]K[/tex3]

é:
[tex3]Pot_c = CX \cdot CT = (p-a')(p-c) = S = a^2[/tex3]

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[tex3]Pot_c = CX \cdot CT = (p-a')(p-c) = S = a^2[/tex3]

o fato de [tex3](p-a')(p-c)[/tex3]

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[tex3](p-a')(p-c)[/tex3]

ser igual a area é porque [tex3]r = p-b[/tex3]

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[tex3]r = p-b[/tex3]

[jvmago]

PELO AMOR DE EUCLIDES, VOLTA SOUSOEU!!!!!

[petras]

geobson, Esta relação não está correta...TX seria na verdade a-c e a base média seria (a-c)/2 mas como ele chegou a TX = a-c não consegui identificar ainda

[geobson]

geobson, Esta relação não está correta...TX seria na verdade a-c e a base média seria (a-c)/2 mas como ele chegou a TX = a-c não consegui identificar ainda

Obrigado Petras ...
Acho que ele deve ter usado essa propriedade

[geobson]

Realmente ....ficaria 'a - c ...deve ter sido um lapso ....

[geobson]

Propriedade usadas na solução deste problema.

[petras]

geobson

[tex3]\underbrace{KC}_a{^2} = CX.CT \implies a^2=CX.CT\\
S_{\triangle ABC} =AT.CT{(propriedade:2)}\\
Por~propriedade (1): CX=AT:CT=AX \\
\therefore S_{\triangle ABC} = CX.AX=a^2[/tex3]

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[tex3]\underbrace{KC}_a{^2} = CX.CT \implies a^2=CX.CT\\
S_{\triangle ABC} =AT.CT{(propriedade:2)}\\
Por~propriedade (1): CX=AT:CT=AX \\
\therefore S_{\triangle ABC} = CX.AX=a^2[/tex3]

[tex3]^*:BT_4 = (p-b)+(p-c)-(p-b) = p-c=CT_4\\
CT_2=(p-b)+(p-c)-(p-c) = p-b = BT_2 [/tex3]

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[tex3]^*:BT_4 = (p-b)+(p-c)-(p-b) = p-c=CT_4\\
CT_2=(p-b)+(p-c)-(p-c) = p-b = BT_2 [/tex3]

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