Ensino MédioValor mínimo Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Babi123
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Valor mínimo

Mensagem não lida por Babi123 »

Seja [tex3]x,y,z[/tex3] números reais tal que [tex3]3x+y+2z\geq3[/tex3] e [tex3]2y-x+4z\geq5[/tex3] . então o valor mínimo de [tex3]7x+5y+10z[/tex3] é:
a) [tex3]\frac{96}{7}[/tex3]
b) [tex3]\frac{97}{7}[/tex3]
c) [tex3]14[/tex3]
d) [tex3]\frac{99}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{100}{7}[/tex3]
Resposta

[tex3]\frac{97}{7}[/tex3]

Última edição: Babi123 (Sáb 22 Jun, 2019 12:18). Total de 1 vez.
Razão: corrigir desigualdade.



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MateusQqMD
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Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por MateusQqMD »

E aí, Babi

Basicamente eu manipulei as inequações e cheguei ao pedido do enunciado, qlq dúvida você manda aí.
[tex3]\begin{cases}
3x+y+2z\geq3 \quad \text{(I)} \\\\
-x + 2y +4z\geq5 \quad \text{(II)}
\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases}3\text{(I)} + 2\text{(II)} : \quad x + y + 2z \geq {\large\frac{19}{7}} \quad \text{(III)} \\\\ \text{(I)} + 4\text{(III)} : \quad 7x + 5y + 10z \geq {\large\frac{97}{7}} \quad \text{(IV)} \end{cases}[/tex3]

Última edição: MateusQqMD (Sáb 22 Jun, 2019 18:39). Total de 2 vezes.
Razão: edit¹: destacar parte incorreta. edit²: corrigir solução.


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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MateusQqMD
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Jun 2019 22 13:52

Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Fui olhar dnv, e acho que o que eu fiz para descobrir o mínimo de [tex3]x[/tex3] está errado. Dps eu olho meu rascunho aqui dnv.


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

Auto Excluído (ID:12031)
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Jun 2019 22 14:48

Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

você podee conferir se o problema tem solução checando o determinante 3 x 3 com os coeficientes das três equações x,y,z se o determinante não for zero não há solução



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Planck
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Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por Planck »

Parece ter uma solução por multiplicadores de Lagrange também.



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MateusQqMD
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Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por MateusQqMD »

sousóeu escreveu:
Sáb 22 Jun, 2019 14:48
você podee conferir se o problema tem solução checando o determinante 3 x 3 com os coeficientes das três equações x,y,z se o determinante não for zero não há solução
Eu olhei aqui e encontrei determinante zero mesmo. Pensei mais um pouco e acredito que agora esteja correto. Valeu!


"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."

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MateusQqMD
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Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por MateusQqMD »

Babi, fiz uma edição na mensagem que continha a solução, agr creio que esteja tudo ok.


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Planck
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Re: Valor mínimo

Mensagem não lida por Planck »

Planck escreveu:
Sáb 22 Jun, 2019 16:00
Parece ter uma solução por multiplicadores de Lagrange também.
Temos que [tex3]f(x, \ y, \ z) = 7x+5y+10z [/tex3] . O gradiente dessa função é dado por [tex3]\nabla f(x, \ y, \ z) = \langle7, 5, 10 \rangle[/tex3] . As restrições podem ser definidas por: [tex3]g(x) = 3x+y+2z - 3[/tex3] e [tex3]h(x)= -x + 2y+4z - 5[/tex3] , e seus gradientes são dados por:

[tex3]\begin{cases} \nabla g(x, \ y, \ z) = \langle 3, 1, 2 \rangle \\ \\ \nabla h(x, \ y, \ z) = \langle -1, 2, 4 \rangle \end{cases} [/tex3]

Desse modo, podemos dizer que:

[tex3]\nabla f(x, \ y, \ z) = \lambda \cdot \nabla g(x, \ y, \ z) + \mu \cdot \nabla h(x, \ y, \ z)[/tex3]

Assim, ficamos com:

[tex3]\langle7, 5, 10 \rangle = \lambda \cdot \langle 3, 1, 2 \rangle + \mu\cdot \langle -1, 2, 4 \rangle \, \, \implies \, \,
\begin {cases}
7 + 3\lambda - \mu \\
5 + \lambda + 2\mu \\
10 + 2 \lambda + 4\mu \\
3x+y+2z - 3 \\
-x + 2y+4z - 5
\end{cases} = 0[/tex3]

Isolando [tex3]\mu[/tex3] na primeira equação e substituindo na segunda equação, obtemos que [tex3]\lambda = -\frac{19}{7}, \ \mu = - \frac{8}{7}[/tex3] . Multiplicando a quarta equação por [tex3]-2[/tex3] e somando na quinta equação, obtemos que:

[tex3]\begin {cases} -6x - 2y - 4z - 6 = 0 \\ -x + 2y + 4z -5 =0 \end{cases} \, \, \implies \, \, x= \frac{1}{7}[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]x[/tex3] no sistema, obtemos que:

[tex3]\langle7, 5, 10 \rangle = \lambda \cdot \langle 3, 1, 2 \rangle + \mu\cdot \langle -1, 2, 4 \rangle \, \, \implies \, \,
\begin {cases}
7 + 3\lambda - \mu \\
5 + \lambda + 2\mu \\
10 + 2 \lambda + 4\mu \\
-\frac{18}{7}+y+2z \\
-\frac{36}{7} + 2y+4z
\end{cases} = 0[/tex3]

Da quarta equação, podemos dizer que:

[tex3]y = \frac{18}{7} -2z \, \, \iff \, \, y = \alpha, \ \ z = \frac{9}{7} - \frac{\alpha}{2} [/tex3]

Substituindo os valores na equação original:

[tex3]7 \cdot \frac {1}{7} + 5 \cdot \alpha + 10\cdot \left ( \frac{9}{7} - \frac{\alpha}{2}\right) \, = \, { \color{forestgreen} \boxed{_{_{{⠀}_{⠀}}} \frac{97}{7}_{{⠀}_{⠀}}^{{⠀}^{⠀}} } }[/tex3]

Última edição: Planck (Dom 23 Jun, 2019 17:02). Total de 1 vez.



Movido de IME / ITA para Ensino Médio em Ter 25 Jun, 2019 13:21 por ALDRIN

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