Ensino Médio ⇒ Trigonometria Tópico resolvido

[Babi123]

Prove que: [tex3]\cos\(\frac{\pi}{11}\)+\cos\(\frac{3\pi}{11}\)+\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+\cos\(\frac{7\pi}{11}\)+\cos\(\frac{9\pi}{11}\)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\(\frac{\pi}{11}\)+\cos\(\frac{3\pi}{11}\)+\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+\cos\(\frac{7\pi}{11}\)+\cos\(\frac{9\pi}{11}\)=\frac{1}{2}[/tex3]

[snooplammer]

Tem uma fórmula pra isso, mas irei fazer sem fórmula. Irei apresentar a ideia da resolução que tem no Titu

Seja

[tex3]z=\cis\frac{\pi}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=\cis\frac{\pi}{11}[/tex3]

[tex3]z^3=\cis\frac{3\pi}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^3=\cis\frac{3\pi}{11}[/tex3]

[tex3]z^5=\cis\frac{5\pi}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^5=\cis\frac{5\pi}{11}[/tex3]

[tex3]z^7=\cis\frac{7\pi}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^7=\cis\frac{7\pi}{11}[/tex3]

[tex3]z^9=\cis\frac{9\pi}{11}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^9=\cis\frac{9\pi}{11}[/tex3]

[tex3]z+z^3+z^5+z^7+z^9=\frac{z^{11}-z}{z^2-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z+z^3+z^5+z^7+z^9=\frac{z^{11}-z}{z^2-1}[/tex3]

[tex3]z^{11}=\cis \pi=-1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z^{11}=\cis \pi=-1[/tex3]

[tex3]\frac{-1-z}{z^2-1}=\frac{-(1+z)}{(z+1)(z-1)}=\frac{1}{1-z}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{-1-z}{z^2-1}=\frac{-(1+z)}{(z+1)(z-1)}=\frac{1}{1-z}[/tex3]

[tex3]1-z=-2i\sen\frac{\pi}{22}\cis\frac{\pi}{22}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1-z=-2i\sen\frac{\pi}{22}\cis\frac{\pi}{22}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{-2i\sen\frac{\pi}{22}\cis\frac{\pi}{22}}\cdot \frac{\cis \left(-\frac{\pi}{22}\right)}{\cis \left(-\frac{\pi}{22}\right)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{-2i\sen\frac{\pi}{22}\cis\frac{\pi}{22}}\cdot \frac{\cis \left(-\frac{\pi}{22}\right)}{\cis \left(-\frac{\pi}{22}\right)}[/tex3]

[tex3]\frac{\cos \left(-\frac{\pi}{22}\right)+i\sen\left(-\frac{\pi}{22}\right)}{-2i\sen\frac{\pi}{22}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\cos \left(-\frac{\pi}{22}\right)+i\sen\left(-\frac{\pi}{22}\right)}{-2i\sen\frac{\pi}{22}}[/tex3]

A parte real é justamente [tex3]\frac{i\sen\left(-\frac{\pi}{22}\right)}{-2i\sen\left(\frac{\pi}{22}\right)}=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{i\sen\left(-\frac{\pi}{22}\right)}{-2i\sen\left(\frac{\pi}{22}\right)}=\frac{1}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\cos\(\frac{\pi}{11}\)+\cos\(\frac{3\pi}{11}\)+\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+\cos\(\frac{7\pi}{11}\)+\cos\(\frac{9\pi}{11}\)=\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\cos\(\frac{\pi}{11}\)+\cos\(\frac{3\pi}{11}\)+\cos\(\frac{5\pi}{11}\)+\cos\(\frac{7\pi}{11}\)+\cos\(\frac{9\pi}{11}\)=\frac{1}{2}[/tex3]

[Babi123]

Obrigada snooplammer!