Ensino Médio

Dada a desigualdade [tex3]\frac{-2x^2+kx-2}{x^2-x+1}>-3[/tex3] , os valores de [tex3]k[/tex3] para os quais ela é verdadeira para quaisquer valores de [tex3]x[/tex3] são:

a) [tex3]1<k<5[/tex3]
b) [tex3]-1<k<4[/tex3]
c) [tex3]k<1[/tex3] ou [tex3]k>5[/tex3]
d) [tex3]k<-1[/tex3] ou [tex3]k>4[/tex3]
e) [tex3]k<1[/tex3] ou [tex3]k>4[/tex3]

Seja a desigualdade [tex3]\frac{-2x^2+kx-2}{x^2-x+1}>-3[/tex3]

[tex3]\frac{-2x^2+kx-2}{x^2-x+1}+3>0[/tex3]

[tex3]\frac{-2x^2+kx-2+3x^2-3x+3}{x^2-x+1}>0[/tex3]

[tex3]\frac{x^2+(k-3)x+1}{x^2-x+1}>0[/tex3]

Temos uma situação que o [tex3]\Delta [/tex3] da função [tex3]x^2+(k-3)x+1[/tex3] tem que ser menor que 0, pois [tex3]x^2-x+1>0[/tex3] sempre

Então

[tex3]\Delta =(k-3)^2-4[/tex3]

[tex3](k-3)^2-4<0[/tex3]
[tex3](k-3)^2<4[/tex3]
[tex3]k-3<\pm 2[/tex3]

[tex3]1< k < 5[/tex3]

Resolução
[tex3]\frac{-2x^2+kx-2}{x^2-x+1}+3>0[/tex3]
[tex3]\frac{x^2+(k-3)x+1}{\cancel{x^2-x+1}}>0[/tex3]
[tex3]x^2+(k-3)x+1>0[/tex3]
[tex3]\rightarrow \Delta <0[/tex3]
[tex3]\rightarrow (k-3)^{2}-4<0[/tex3]
[tex3]\rightarrow (k-3)^{2}<4[/tex3]
[tex3]\rightarrow -\sqrt{4}< k-3 < \sqrt{4}[/tex3]
[tex3]\rightarrow -2< k-3 <2[/tex3]
[tex3]\rightarrow 1< k < 5[/tex3]

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