- metr.PNG (17.42 KiB) Exibido 1476 vezes
b) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]
Resposta
b
IME / ITA ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana Tópico resolvido
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Flavio2020 
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Jun 2019
14
18:31
(Nível IME/ITA) Geometria Plana
Se [tex3]A[/tex3]
, [tex3]B[/tex3]
e [tex3]P[/tex3]
são pontos de tangência, [tex3]AB=4[/tex3]
, calcule [tex3]AP[/tex3]
.
a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]
b
a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]2\sqrt{2}[/tex3]
c) [tex3]3\sqrt{2}[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]
b
Jun 2019
15
09:45
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
As circunferências de Traveler, isso vai dar trabalho
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jun 2019
15
11:15
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
- 1560608110653-301411629.jpg (24.31 KiB) Exibido 1422 vezes
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jun 2019
15
11:24
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Ao som de https://www.youtube.com/watch?v=LsrwMGeW1fQ partiu quebrar esse problema!
Seja [tex3]H[/tex3] o pé da perpendicular que parte de [tex3]B[/tex3] e [tex3]H[/tex3] o ponto diametralmente oposto de [tex3]C[/tex3] .
Como toda boa questão de geomtria russa, não é necessário nos preocuparmos com valores separados de cada variável portanto, precisamos de apenas uma generalização!!
Façamos [tex3]AH=a[/tex3] , [tex3]HC=2r[/tex3] , [tex3]MC=b[/tex3] e [tex3]AP=x[/tex3]
Por potenciq de ponto em [tex3]A[/tex3] TEREMOS:
[tex3]x^2=a(a+2r)[/tex3]
Observando os pontos de tangencia percebemos que [tex3]BC=AC=a+2r[/tex3] e que o [tex3]\Delta BCH[/tex3] é retangulo PORTANDO USANDO MÉTRICA:
[tex3]4r^2=b(a+2r)[/tex3] tal que
[tex3]b=\frac{4r^2}{a+2r}[/tex3]
Aplicando a lei dos cossenos em [tex3]\Delta ABC[/tex3] :
[tex3]16=(a+2r)^2(1-cos\theta)[/tex3] onde [tex3]\theta=BcA[/tex3] agora acabou pois saca só, no [tex3]\Delta HMC[/tex3] temos
[tex3]cos\theta=\frac{4r^2}{(a+2r)2r}=\frac{2r}{a+2r}[/tex3] logo
[tex3]16=(a+2r)^2(1-cos\theta)[/tex3]
[tex3]16=(a+2r)^2(1-\frac{2r}{a+2r})[/tex3]
[tex3]16=(a+2r)(a)[/tex3] E POR FIM
[tex3]x^2=a(a+2r)[/tex3]
[tex3]x^2=16[/tex3]
[tex3]x=4[/tex3]
[tex3]PIMBADA![/tex3]
Seja [tex3]H[/tex3] o pé da perpendicular que parte de [tex3]B[/tex3] e [tex3]H[/tex3] o ponto diametralmente oposto de [tex3]C[/tex3] .
Como toda boa questão de geomtria russa, não é necessário nos preocuparmos com valores separados de cada variável portanto, precisamos de apenas uma generalização!!
Façamos [tex3]AH=a[/tex3] , [tex3]HC=2r[/tex3] , [tex3]MC=b[/tex3] e [tex3]AP=x[/tex3]
Por potenciq de ponto em [tex3]A[/tex3] TEREMOS:
[tex3]x^2=a(a+2r)[/tex3]
Observando os pontos de tangencia percebemos que [tex3]BC=AC=a+2r[/tex3] e que o [tex3]\Delta BCH[/tex3] é retangulo PORTANDO USANDO MÉTRICA:
[tex3]4r^2=b(a+2r)[/tex3] tal que
[tex3]b=\frac{4r^2}{a+2r}[/tex3]
Aplicando a lei dos cossenos em [tex3]\Delta ABC[/tex3] :
[tex3]16=(a+2r)^2(1-cos\theta)[/tex3] onde [tex3]\theta=BcA[/tex3] agora acabou pois saca só, no [tex3]\Delta HMC[/tex3] temos
[tex3]cos\theta=\frac{4r^2}{(a+2r)2r}=\frac{2r}{a+2r}[/tex3] logo
[tex3]16=(a+2r)^2(1-cos\theta)[/tex3]
[tex3]16=(a+2r)^2(1-\frac{2r}{a+2r})[/tex3]
[tex3]16=(a+2r)(a)[/tex3] E POR FIM
[tex3]x^2=a(a+2r)[/tex3]
[tex3]x^2=16[/tex3]
[tex3]x=4[/tex3]
[tex3]PIMBADA![/tex3]
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Jun 2019
15
11:26
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
Deixo como curiosidade o questionamento: " O que acontece com o comprimento da circunferencia se o comprimento BH for 3 vezes menor que AP?" GOGO
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
-
Auto Excluído (ID:12031)
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Jun 2019
15
13:28
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
legal a resposta, só faltou dividir por 2 na lei dos cossenos! (O gabarito está correto)
Não sei como resolver sem contas esse problema, outro jeito de resolver seria chamando o raio da circunferência maior de R e encontrando as outras medidas em função dele
Não sei como resolver sem contas esse problema, outro jeito de resolver seria chamando o raio da circunferência maior de R e encontrando as outras medidas em função dele
Jun 2019
15
15:28
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
A parte da Lei dos Cossenos ficaria:
[tex3]4^2=(2r+a)^2+(2r+a)^2-2\cdot (2r+a)\cdot(2r+a)\cdot\cos(\theta)\\
16=2(2r+a)^2-2(2r+a)^2\cdot \cos(\theta)\\
16=2(2r+a)^2\cdot[1-\cos(\theta)]\\
\boxed{\boxed{8=(2r+a)^2\cdot[1-\cos(\theta)]}}[/tex3]
Q solução bonita jvmago, Parabéns!
Jun 2019
15
18:22
Re: (Nível IME/ITA) Geometria Plana
LOOOL bem notado, eu realmente não me atentei ao 2 muito obrigado por lembrar
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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