IME / ITA ⇒ ITA - Geometria Espacial Tópico resolvido

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ITA - Um cone de revolução está circunscrito a uma esfera de raio R cm. Se a altura do cone for igual ao dobro do raio da base, calcule a área da superfície lateral do cone.

Resposta

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[tex3]\pi\sqrt{5}/4(1+\sqrt{5}^{2})R^{2}{{}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi\sqrt{5}/4(1+\sqrt{5}^{2})R^{2}{{}}[/tex3]

cm

Não consegui calcular, poderiam me ajudar? Obrigado.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

15604605858807887143189549990369.jpg (18.55 KiB) Exibido 3862 vezes

Seja a seção meridiana VAB da circunscrição considerada. No triângulo retângulo VCB, temos pelo teorema de Pitágoras:

g² = ( 2r )² + r² → g = r√5 ( I )

∆ VOD ~ ∆ VBC, logo

[tex3]\frac{R}{r}=\frac{2r-R}{g}[/tex3]

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[tex3]\frac{R}{r}=\frac{2r-R}{g}[/tex3]

[tex3]g=\frac{(2r-R).r}{R} \ ( II )[/tex3]

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[tex3]g=\frac{(2r-R).r}{R} \ ( II )[/tex3]

De ( I ) e ( I I ), vem:

[tex3]\frac{(2r-R).r}{R}=r\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]\frac{(2r-R).r}{R}=r\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]r=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.R \ ( III )[/tex3]

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[tex3]r=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.R \ ( III )[/tex3]

De ( I ) e ( I I I ) , resulta;


[tex3]g=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\sqrt{5}.R [/tex3]

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[tex3]g=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\sqrt{5}.R [/tex3]

A área lateral [tex3]A_{l}[/tex3]

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[tex3]A_{l}[/tex3]

desse cone é :


[tex3]A_{l}=πrg=π.\frac{\sqrt{5}+1}{2}.R.\frac{\sqrt{5}+1}{2}.R.\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]A_{l}=πrg=π.\frac{\sqrt{5}+1}{2}.R.\frac{\sqrt{5}+1}{2}.R.\sqrt{5}[/tex3]

Portanto,

[tex3]A_{l}=\frac{π\sqrt{5}}{4}.(1+\sqrt{5})^2R^2cm^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{l}=\frac{π\sqrt{5}}{4}.(1+\sqrt{5})^2R^2cm^2[/tex3]

Bons estudos!