IME / ITA(Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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mvgcsdf
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(Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por mvgcsdf »

Outra questão muito bacana.
Quantas espécies distintas de polígonos regulares de 100 lados existem?




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Eduardo
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Mai 2007 02 08:42

Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por Eduardo »

tem algo muito errado com esse enunciado.. não sei como pode existir mais de um poligono regular de 100 lados... o enunciado está correto?

Última edição: Eduardo (Qua 02 Mai, 2007 08:42). Total de 1 vez.



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caju
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Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por caju »

Olá a todos,

É... meio diferente esta questão mesmo! Vou dar uma dica aqui.

Vou mostrar três tipos distintos de hexágonos:
2_poligonos_1.jpg
2_poligonos_1.jpg (10.6 KiB) Exibido 6648 vezes
O que difere um do outro é a quantidade de reentrâncias (ou concavidades) que cada uma apresenta.

Será que agora saí?
Última edição: caju (Qua 02 Mai, 2007 09:11). Total de 1 vez.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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Eduardo
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Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por Eduardo »

assim eu consigo fazer, mas isso não é um polígono regular......
Última edição: Eduardo (Qua 02 Mai, 2007 09:16). Total de 1 vez.



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caju
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Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por caju »

Ih! É mesmo... nem reparei a palavra regular!!! Acho que o que a pessoa que criou a questão queria era sem a palavra regular.

Com a palavra regular a resposta é 1 mesmo.

Tente fazer suprimindo o termo regular.
Última edição: caju (Qua 02 Mai, 2007 09:30). Total de 1 vez.


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marco_sx
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Mai 2007 02 17:01

Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por marco_sx »

Além do polígono regular convexo existem também os estrelados. Será que é isso que a questão está pedindo?
Última edição: marco_sx (Qua 02 Mai, 2007 17:01). Total de 1 vez.



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Eduardo
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Mai 2007 02 19:36

Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por Eduardo »

na minha opinião tem algo faltando no enunciado ainda.... algo que estava no lugar de regular
Última edição: Eduardo (Qua 02 Mai, 2007 19:36). Total de 1 vez.



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caju
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Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por caju »

Olá a todos,

Analisando um pouco meus alfarrábios, vi que a definição de polígono regular realmente só leva em consideração os lados iguais e os ângulos internos iguais, não leva em consideração se há ou não alguma concavidade.

Sendo assim, como já disse nosso amigo marco_sx, devemos levar em consideração os polígonos estrelados.

Para resolver vamos iniciar pensando em um polígono de 6 lados. Ou seja, a mesma questão referenciando um hexágono.

Pegue um lápis e um papel e desenhe uma circunferência com 8 pontos sobre ela e eqüidistantes um do outro.
Screen Shot 2011-12-01 at 20.34.47.png
Screen Shot 2011-12-01 at 20.34.47.png (14.5 KiB) Exibido 6668 vezes
Partindo do ponto [tex3]A[/tex3] se percorrermos com o lápis, fazendo linhas retas, e visitando cada ponto vizinho, formamos o octógono [tex3]ABCDEFGH[/tex3] regular comumente conhecido.
Agora, se partirmos do ponto [tex3]A[/tex3] , e vamos sempre pulando para o terceiro no sentido horário, obtemos o polígono regular [tex3]ADGBEHCF[/tex3] .
Screen Shot 2011-12-01 at 20.36.50.png
Screen Shot 2011-12-01 at 20.36.50.png (30.67 KiB) Exibido 6668 vezes
Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o quarto no sentido horário, não obteremos um polígono de [tex3]8[/tex3] lados (tente no papel).

Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o quinto, obteremos o mesmo polígono acima.

Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o sexto, não obteremos um polígono de [tex3]8[/tex3] lados.

Partindo de [tex3]A[/tex3] e pulando para o sétimo, obteremos o mesmo polígono [tex3]ABCDEFGH[/tex3] .

Ou seja, só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com [tex3]8[/tex3] (quando pulamos para o [tex3]1[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]7[/tex3] ). Ainda assim obtemos polígonos repetidos duas vezes. Portanto, a quantidade de polígonos regulares de [tex3]n[/tex3] lados é igual à metade da quantidade de números positivos primos com [tex3]n[/tex3] .

Para calcular a quantidade de números primos com [tex3]n[/tex3] utilizamos a função Totiente de Euler [tex3]\phi(n)[/tex3] .
O valor [tex3]\phi(n)[/tex3] nos dá a quantidade de números primos com [tex3]n[/tex3] que são menores que [tex3]n[/tex3] .

Essa função tem as seguintes propriedades:

1) [tex3]\phi(p) = p-1[/tex3] se [tex3]p[/tex3] é primo;

2) [tex3]\phi(p^k)=p^{k-1}(p-1)[/tex3] se [tex3]p[/tex3] é primo;

3) [tex3]\phi(a\cdot b) = \phi(a)\cdot\phi(b)[/tex3] , [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] primos entre sí e [tex3]\ge 1[/tex3] .

Então vamos calcular o valor de [tex3]\phi(100)[/tex3] .

[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)[/tex3]

Como [tex3]4[/tex3] e [tex3]25[/tex3] são primos entre sí, podemos aplicar a regra 3:

[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)=\phi(2^2)\cdot\phi(5^2)[/tex3]

Agora podemos aplicar a regra 2.

[tex3]\phi(100)=\phi(4\cdot 25)=\phi(2^2)\cdot\phi(5^2)=2^{2-1}\cdot{(2-1)}\cdot 5^{2-1}\cdot (5-1)=40[/tex3]

Assim, temos que a quantidade de polígonos regulares com [tex3]100[/tex3] lados é [tex3]\frac{40}{2}=20[/tex3]
Última edição: caju (Qua 02 Mai, 2007 21:08). Total de 4 vezes.


"A beleza de ser um eterno aprendiz..."

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mvgcsdf
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Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por mvgcsdf »

Grande Prof. Caju: valeu mais uma vez pela força!!
A resposta é 20 sim.
Valeu!!
Última edição: mvgcsdf (Qui 03 Mai, 2007 13:03). Total de 1 vez.



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Agash
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Dez 2011 01 20:26

Re: (Escola Naval - 1973) Quantidade de Polígonos Regulares

Mensagem não lida por Agash »

Ressuscitando esse tópico! (questão muito interessante)

Gostaria que alguém me desse uma explicação mais "algébrica", tentei elaborar ,mas não consegui.
caju escreveu:só conseguimos obter um polígono regular quando pulamos para um número que seja primo com [tex3]8[/tex3] (quando pulamos para o [tex3]1[/tex3] , [tex3]3[/tex3] , [tex3]5[/tex3] e [tex3]7[/tex3] ).
OBS: Não precisa ser para um polígono de n lados, se fizer para o de 8 fico satisfeito = ] !

Última edição: Agash (Qui 01 Dez, 2011 20:26). Total de 1 vez.



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