IME / ITA ⇒ (EN 2014) Limites Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20100)]

O limite, [tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}[/tex3]

[tex3]{\frac{sen2x-cos2x-1}{cosx-senx}}[/tex3]

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[tex3]{\frac{sen2x-cos2x-1}{cosx-senx}}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]-\sqrt{2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{sen2x-cos2x-1}{cosx-senx}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{sen2x-cos2x-1}{cosx-senx}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2sen(x)cos(x)-cos^2(x)+\cancel{sen^2(x)}-\cancel{sen^2(x)}-cos^2(x)}{cosx-senx}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2sen(x)cos(x)-cos^2(x)+\cancel{sen^2(x)}-\cancel{sen^2(x)}-cos^2(x)}{cosx-senx}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2sen(x)cos(x)-2cos^2(x)}{cosx-senx}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2sen(x)cos(x)-2cos^2(x)}{cosx-senx}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{-2cos(x).[\cancel{cos(x)-sen(x)}]}{\cancel{cos(x)-sen(x)}}}=[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{-2cos(x).[\cancel{cos(x)-sen(x)}]}{\cancel{cos(x)-sen(x)}}}=[/tex3]

[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}-2cos(x)=-2cos\left(\frac{π}{4}\right)=-\cancel{2}.\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}=-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}-2cos(x)=-2cos\left(\frac{π}{4}\right)=-\cancel{2}.\frac{\sqrt{2}}{\cancel{2}}=-\sqrt{2}[/tex3]

Portanto, [tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{sen2x-cos2x-1}{cosx-senx}}=-\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{sen2x-cos2x-1}{cosx-senx}}=-\sqrt{2}[/tex3]

Bons estudos!

[PedroCosta]

Outra solução:
A regra de L'Hôpital consiste em derivar o numerador e o denominador quando tivermos uma indeterminação do tipo [tex3]\frac{0}{0}[/tex3]

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[tex3]\frac{0}{0}[/tex3]

e [tex3]\frac{\pm \infty}{\pm\infty}[/tex3]

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[tex3]\frac{\pm \infty}{\pm\infty}[/tex3]

.
[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{(sen(2x)-cos(2x)-1)'}{(cosx-senx)'}}=\\
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2cos(2x)-(-2sen(2x))}{(-senx-cosx)}}=\\
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2cos(2x)+2sen(2x)}{(-senx-cosx)}}= \frac{2cos(2\cdot\frac{\pi}{4})+2sen(2\cdot\frac{\pi}{4})}{(-sen(\frac{\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4}))} = \frac{2}{-\frac{2\sqrt{2}}{2}} = -\sqrt{2}\\
[/tex3]

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[tex3]\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{(sen(2x)-cos(2x)-1)'}{(cosx-senx)'}}=\\
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2cos(2x)-(-2sen(2x))}{(-senx-cosx)}}=\\
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}{\frac{2cos(2x)+2sen(2x)}{(-senx-cosx)}}= \frac{2cos(2\cdot\frac{\pi}{4})+2sen(2\cdot\frac{\pi}{4})}{(-sen(\frac{\pi}{4})-cos(\frac{\pi}{4}))} = \frac{2}{-\frac{2\sqrt{2}}{2}} = -\sqrt{2}\\
[/tex3]