IME / ITA ⇒ (EN 1984) Triângulo com lados consecutivos Tópico resolvido

[lookez]

As medidas dos lados de um triângulo ABC são 3 números inteiros e consecutivos e o ângulo maior, A, é o dobro do menor, C. Os lados deste triângulo são:

(A) 2, 3, 4.
(B) 3, 4, 5.
(C) 8, 9, 10.
(D) 4, 5, 6.
(E) 5, 6, 7.

Resposta

---

D

Gostaria de saber se há alguma maneira inteligente de fazer a questão, só consegui fazer testando todas as alternativas com lei dos senos.

[jvmago]

Chame os lados de (n-1,n,n+1) aplique a lei dos senos, abra no arco duplo, aplique o teorema fundamental da álgebra e por fim lei dos cossenos

Estou no celular mas se ninguém responder eu posto mais tarde

[jvmago]

Ah é [tex3]PIMBADA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PIMBADA[/tex3]

[rodBR]

Seguindo as instruções do caro colega jvmago...

Sejam os lados: [tex3](n-1,n,n+1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n-1,n,n+1)[/tex3]

triângulo.png (5.83 KiB) Exibido 2763 vezes

Pela lei dos Senos:
[tex3]\frac{n+1}{\sen(2c)}=\frac{n-1}{\sen(c)}\\
\frac{n+1}{2\cdot \sen(c)\cdot\cos(c)}=\frac{n-1}{\sen(c)}\\
\boxed{\frac{n+1}{n-1}=2\cos(c)}\ \ (i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{n+1}{\sen(2c)}=\frac{n-1}{\sen(c)}\\
\frac{n+1}{2\cdot \sen(c)\cdot\cos(c)}=\frac{n-1}{\sen(c)}\\
\boxed{\frac{n+1}{n-1}=2\cos(c)}\ \ (i)[/tex3]

lei dos Cossenos:
[tex3](n-1)^2=(n+1)^2+n^2-2\cdot (n+1)\cdot n\cdot \cos(c)\\
n^2-2n+1=n^2+2n+1+n^2-2\cos(c)\cdot n\cdot(n+1)\\
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n-1)^2=(n+1)^2+n^2-2\cdot (n+1)\cdot n\cdot \cos(c)\\
n^2-2n+1=n^2+2n+1+n^2-2\cos(c)\cdot n\cdot(n+1)\\
[/tex3]

Substituindo a informação [tex3](i)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](i)[/tex3]

, segue que:
[tex3]n^2-2n+1=n^2+2n+1+n^2-\(\frac{n+1}{n-1}\)\cdot(n+1)\cdot n=0\\
n^2+4n-\(\frac{n+1}{n-1}\)\cdot(n+1)\cdot n=0\\
[/tex3]

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[tex3]n^2-2n+1=n^2+2n+1+n^2-\(\frac{n+1}{n-1}\)\cdot(n+1)\cdot n=0\\
n^2+4n-\(\frac{n+1}{n-1}\)\cdot(n+1)\cdot n=0\\
[/tex3]

Multiplicando por [tex3]\frac{n-1}{n}[/tex3]

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[tex3]\frac{n-1}{n}[/tex3]

[tex3](n-1)\cdot n+4\cdot(n-1)-(n+1)^2=0\\
n^2-n+4n-4-n^2-2n-1=0\\
\boxed{\boxed{n=5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n-1)\cdot n+4\cdot(n-1)-(n+1)^2=0\\
n^2-n+4n-4-n^2-2n-1=0\\
\boxed{\boxed{n=5}}[/tex3]

Como os lados são consecutivos e encontramos [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

, então temos que os lados são: [tex3](n-1, \ n, \ n+1)=(4, 5,6) \implies Alternativa \ D[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n-1, \ n, \ n+1)=(4, 5,6) \implies Alternativa \ D[/tex3]