IME / ITA ⇒ (AFA 2003) Combinatória Tópico resolvido

[rumoafa]

Uma esquadrilha é formada por R caças e tem a missão de atacar uma base inimiga. Ao se aproximar do alvo, a esquadrilha se divide em duas; uma com S e outra com T caças (S + T = R e R > 2). De quantas maneiras distintas tal divisão poderá ocorrer?

a) [tex3]\frac{R!}{(S+T)!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R!}{(S+T)!}[/tex3]

b)[tex3]\frac{R!}{S!T!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R!}{S!T!}[/tex3]

c) [tex3]\frac{R!}{(ST)!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R!}{(ST)!}[/tex3]

d) [tex3]\frac{2(R)!}{S!T!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2(R)!}{S!T!}[/tex3]

*sem gabarito*

Desde já agradeço!

[MateusQqMD]

Olá!

Forme uma fila com os [tex3]R[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R[/tex3]

caças. Isso automaticamente os divide em dois grupos: os [tex3]S[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S[/tex3]

primeiros caças formam um grupo e os [tex3]T[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T[/tex3]

últimos, outro. Há [tex3]R![/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R![/tex3]

modos de formar a fila. Porém, uma mesma divisão em grupos é contada mais de uma vez trocando os caças de lugar dentro de um mesmo grupo. Uma divisão [tex3]S = \text{abc}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \text{abc}[/tex3]

e [tex3]T = \text{de}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T = \text{de}[/tex3]

foi contada mais de uma vez quando trocamos [tex3]\text{abc}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{abc}[/tex3]

e [tex3]\text{de}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\text{de}[/tex3]

de lugar entre si. Por exemplo, a divisão de caças em [tex3]S = \text{bac}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]S = \text{bac}[/tex3]

e [tex3]T = \text{ed}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]T = \text{ed}[/tex3]

é a mesma mostrada anteriormente. Corrigimos a contagem dividindo o número de filas pelo número de modos de permutarmos a quantidade de caças dentro de cada grupo.

A resposta é [tex3]\frac{R!}{S!T!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R!}{S!T!}[/tex3]

[Ittalo25]

Basta sortear apenas 1 grupo, já que o que sobrar vai para o outro grupo.

Podemos sortear para o grupo S, então do total de R sortearemos S:

[tex3]\frac{R! }{S! \cdot (R-S)! } = \boxed {\frac{R!}{S! \cdot T!}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{R! }{S! \cdot (R-S)! } = \boxed {\frac{R!}{S! \cdot T!}}[/tex3]

[Bar22melDI]

Se tenho R caças vou tomar S caças pra formar um grupo e T caças pra p formar outro !
Então Combinarei :
C r,s e C r, t como S+T = R , são combinaçoes iguais! Se repetem as maneiras da divisão. Assim basta eu considerar uma combinação: C r,s = R!/ S! (R-S)!
E tendo S+T =R , logo R-S= T ... Opacao B... R!/S!T!......
Veja se eu tomo C r,t= R! / T! (R-T)! .... E R-T= S, logo ,tenho R! / T!S! ....que é igual..... É este o pensamento?

[Bar22melDI]

Isto tendo interpretado como maneiras distintas de ocorrer uma divisão já provável! Pois a questão fala de UMA divisão, no singular, sei que poderiam ter quantidades de divisões diferentes também ( o que não é o caso da questão). Ex...se 7 caças...está definida, embora oculta, uma única divisão 4 e 3 digamos. Mas se eu considerasse possibilidades de divisões poderia ter também 2 e 5 , 1 e 6. Ainda com ex de 7 caças , levando ao meu pensamento da resolução... Com 7 caças fazer grupos de 3 os 4 que sobrarem nessas combinações vão estar sempre no outro grupo, assim também se com os 7 eu resolver formar grupos com 4 ....os 3 restantes formam os grupos complementares. ... ALGUM EQUÍVOCO?