IME / ITA ⇒ (UNI - 2019) Geometria Plana Tópico resolvido

[guila100]

Em um triangulo ABC seja o angulo BÂC=2(o angulo (AC^B)=30 graus se traçarmos a mediana BM calcule (AB^M)

a) 75
b) 80
c) 90
d) 100
e) 105

Resposta

---

e

[Nickds]

exemplotriang.png (8.28 KiB) Exibido 1102 vezes

Divida o ângulo ABC em dois: x e (180-(30+15) - x)

Agora faça lei dos senos nos dois triângulos que a mediana acaba dividindo o triângulo ABC. E isole M que representará o valor da mediana.

x será ABM

0.5AC/senx = M/sen15

M/sen30 = 0.5C/(sen(180-45-x)

Isolando M em cada uma das equações

M = (0.5*0.5*AC)/(sen(180-45-x)
M = (0.5*AC*sen15)/(senx)

Agora iguale

(0.5*0.5*AC)/(sen(180-45-x) = (0.5*AC*sen15)/(senx)
0.5/(sen(180-45-x) = sen15/senx

senx*0.5 = sen(135-x)*sen15
senx/sen(135-x) = sen15/0.5
senx =2*sen15*sen(135-x)

Perceba que 2*sen15 ~0.5

2senx =sen(135-x)

Seguindo o nosso valor alí de cima 2*sen15 ~0.5 = sen30, temos que 2*sen30 = 1 =~ sen(135-30) = sen(105)

Sendo ABM nosso 135-x, a resposta é 105. Veja que também poderia ser 30, mas não tem alternativa como essa.

[petras]

guila100,
Outra resolução:

Prolongando AB e traçando a perpendicular de C ao prolongamento encontramos D,.
[tex3]\mathsf{\Delta_{ADC}\rightarrow \hat{C}=180^o-120^0=60^o\therefore B\hat{C}D=60^0-15^0=45^o\\
}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\Delta_{ADC}\rightarrow \hat{C}=180^o-120^0=60^o\therefore B\hat{C}D=60^0-15^0=45^o\\
}[/tex3]

Traçando a mediana DM do triângulo retângulo ADC formamos o triângulo isósceles DMC que será equilátero pois [tex3]\mathsf{\hat{C}=60^o\therefore C\hat{M}D=60^o\\
\Delta_{CBD}~é~ isósceles\rightarrow C\hat{B}D=180^o-135^0=45^o\cong D\hat{C}B\\
DM=DB\rightarrow \Delta_{DBM}é~isósceles\rightarrow D\hat{M}B=\frac{180^0-30^0}{2}=75^o\\
\hat{A}+x=135^o(Ângulo~Externo)=30^0+x = 135^o\rightarrow \boxed{\mathsf{\color{Red}x=105^o}}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathsf{\hat{C}=60^o\therefore C\hat{M}D=60^o\\
\Delta_{CBD}~é~ isósceles\rightarrow C\hat{B}D=180^o-135^0=45^o\cong D\hat{C}B\\
DM=DB\rightarrow \Delta_{DBM}é~isósceles\rightarrow D\hat{M}B=\frac{180^0-30^0}{2}=75^o\\
\hat{A}+x=135^o(Ângulo~Externo)=30^0+x = 135^o\rightarrow \boxed{\mathsf{\color{Red}x=105^o}}}[/tex3]