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20910
IME / ITA ⇒ (ITA) Análise combinatória Tópico resolvido
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thetruthFMA
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Abr 2019
12
11:59
(ITA) Análise combinatória
Sobre os lados de um triângulo marcam-se, respectivamente, 3, 4 e 5 pontos distintos, não coincidindo com os vértices. Quantos segmentos de reta podemos obter, unindo, 2 a 2, os centros de todas as circunferencias que passam por 3 quaisquer dos pontos marcados?
20910
20910
desde já agradeço pela ajuda pessoal! Arigatou!
Abr 2019
12
14:37
Re: (ITA) Análise combinatória
Dá pra chegar no gabarito, mas eu vejo um problema: 4 pontos quaisquer podem fazer parte de uma mesma circunferência, com isso, não poderíamos tratar cada trio distinto de pontos como uma circunferência distinta.
De qualquer forma, segue a resolução.
Suponhamos que os três pontos foram marcados no lado [tex3]a[/tex3] , os quatro pontos foram marcados no lado [tex3]b[/tex3] e os cinco pontos foram marcados no lado [tex3]c[/tex3] .
Devemos escolher sempre três pontos, desde que não sejam os três colineares simultaneamente.
Vamos analisar os casos.
1)
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 60 combinações de pontos.
2)
[tex3]C^3_2=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 12 combinações de pontos.
3)
[tex3]C^3_2=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 15 combinações de pontos.
4)
[tex3]C^4_2=6[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 18 combinações de pontos.
5)
[tex3]C^4_2=6[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 30 combinações de pontos.
6)
[tex3]C^5_2=10[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 30 combinações de pontos.
7)
[tex3]C^5_2=10[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 40 combinações de pontos.
Temos, então, um total de [tex3]60+12+15+18+30+30+40=205[/tex3] combinações de três pontos, o que resulta em 205 circunferências e, portanto, [tex3]C^{205}_2=20910[/tex3] segmentos que unem, 2 a 2, os centros das circunferências.
De qualquer forma, segue a resolução.
Suponhamos que os três pontos foram marcados no lado [tex3]a[/tex3] , os quatro pontos foram marcados no lado [tex3]b[/tex3] e os cinco pontos foram marcados no lado [tex3]c[/tex3] .
Devemos escolher sempre três pontos, desde que não sejam os três colineares simultaneamente.
Vamos analisar os casos.
1)
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 60 combinações de pontos.
2)
[tex3]C^3_2=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 12 combinações de pontos.
3)
[tex3]C^3_2=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 15 combinações de pontos.
4)
[tex3]C^4_2=6[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 18 combinações de pontos.
5)
[tex3]C^4_2=6[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
[tex3]C^5_1=5[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 30 combinações de pontos.
6)
[tex3]C^5_2=10[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
[tex3]C^3_1=3[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]a[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 30 combinações de pontos.
7)
[tex3]C^5_2=10[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]c[/tex3] .
[tex3]C^4_1=4[/tex3] maneira(s) de escolher um ponto no lado [tex3]b[/tex3] .
Isso dá um subtotal de 40 combinações de pontos.
Temos, então, um total de [tex3]60+12+15+18+30+30+40=205[/tex3] combinações de três pontos, o que resulta em 205 circunferências e, portanto, [tex3]C^{205}_2=20910[/tex3] segmentos que unem, 2 a 2, os centros das circunferências.
Abr 2019
12
15:57
Re: (ITA) Análise combinatória
csmarcelo, Olá, queria saber se realmente entendi o exercício.
Essa figura que fiz representa um dos 20910 segmentos de reta ? [tex3]C^{205}_2=20910[/tex3]
Essa figura que fiz representa um dos 20910 segmentos de reta ? [tex3]C^{205}_2=20910[/tex3]
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MateusQqMD 
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Abr 2019
12
20:00
Re: (ITA) Análise combinatória
Marcelo, eu não consegui entender porque cada trio de três pontos distintos não garantem circunferências distintas. Para mim o que você fez está certo. Outra forma de fazer essa contagem é por inclusão-exclusão. Há [tex3]C_{12}^3 = 220 [/tex3]
modos de selecionar quaisquer três pontos. Há [tex3]C_3^3 = 1[/tex3]
modo de selecionar três pontos colineares pertencentes a um dos lados. Há [tex3]C_4^3 = 4[/tex3]
modos de selecionar três pontos colineares pertencentes a um dos lados. Há [tex3]C_5^3 = 10[/tex3]
modos de selecionar três pontos colineares pertencentes a um dos lados. Daí, são em número de [tex3]220 - 1 - 4 - 10 = 205[/tex3]
as formas de selecionar três pontos não colineares.
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Abr 2019
12
22:43
Re: (ITA) Análise combinatória
Quaisquer três pontos na imagem (com exceção dos vértices) determinam a mesma circunferência.
Edit: E o centro [tex3]D[/tex3]
da circunferência.
- Untitled.png (35.25 KiB) Exibido 2849 vezes
Última edição: csmarcelo (Sex 12 Abr, 2019 22:45). Total de 1 vez.
Abr 2019
12
22:51
Re: (ITA) Análise combinatória
MateusQqMD,então, me desculpa se eu tiver enganado, mas a notação correta não seria: [tex3]C_3^5 = 10[/tex3]
ou seria assim mesmo: [tex3]C_5^3 = 10[/tex3]
Só para não confundir.
ou seria assim mesmo: [tex3]C_5^3 = 10[/tex3]
Só para não confundir.
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MateusQqMD
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Abr 2019
12
22:52
Re: (ITA) Análise combinatória
Estranho, porque aí não consigo enxergar como a gente conta isso
"Como sou pouco e sei pouco, faço o pouco que me cabe me dando por inteiro."
Abr 2019
12
22:55
Re: (ITA) Análise combinatória
Todo mundo coloca [tex3]n[/tex3]
embaixo, mas eu tenho o costume de colocar em cima. 
De qualquer forma, não dá pra condunfir, o número total de elementos sempre será maior que o número de elementos agrupados.
De qualquer forma, não dá pra condunfir, o número total de elementos sempre será maior que o número de elementos agrupados.
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