IME/ITA ⇒ (CEM - 2018) Dinâmica Tópico resolvido

[jvmago]

Uma mola de constante elástica kA e comprimento natural lA encontra-se na vertical, com a extremidade superior presa num ponto P, e tem em sua extremidade inferior um ponto material de massa m1. Uma segunda mola, de constante elástica kB e comprimento natural lB, encontra-se, também na vertical, com a extremidade superior presa no ponto de massa m1, e tem em sua extremidade inferior um ponto material de massa m2. Seja g a aceleração da gravidade e suponha que as molas obedeçam a lei de Hooke. Admita, ainda, que as únicas forças que agem nos pontos são a força peso e a força elástica das molas, e que o sistema encontra-se em equilíbrio com o ponto de massa m2 suspenso acima do solo. Nessas condições, a distância de P ao ponto de massa m2 é:


Estou encontrando [tex3]D=(l_a+l_b)+\frac{g(m_ak_b+m_bk_a)}{k_ak_b}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]D=(l_a+l_b)+\frac{g(m_ak_b+m_bk_a)}{k_ak_b}[/tex3]

Confere?

[Planck]

Olá jvmago,

Estava resolvendo o exercício, mas meu computador travou, logo mais coloco os cálculos. Sua resposta está quase completa, faltou uma parte que é consequência da análise das forças no bloco 1.

[Planck]

Olá jvmago,

Inicialmente, vamos visualizar o problema, juntamente com as forças respectivas:

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Com isso, podemos considerar as seguintes observações:

[tex3]F_{el_1}=P_{m_1}+F'_{el_1}-F_{el_2}+{\color{orange}P_{m_2}}[/tex3]

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[tex3]F_{el_1}=P_{m_1}+F'_{el_1}-F_{el_2}+{\color{orange}P_{m_2}}[/tex3]

[tex3]F_{el_2}=P_{m_2}[/tex3]

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[tex3]F_{el_2}=P_{m_2}[/tex3]

E também que o comprimento final do sistema será decorrente do comprimento final das molas após a elongação:

[tex3]l_{A_f}+l_{B_f}=D[/tex3]

Com isso, podemos expandir para:

[tex3]k_A \cdot \Delta l_A=m_1 \cdot g+k_B \cdot \Delta l_B-k_B \cdot \Delta l_B+m_2 \cdot g[/tex3]

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[tex3]k_A \cdot \Delta l_A=m_1 \cdot g+k_B \cdot \Delta l_B-k_B \cdot \Delta l_B+m_2 \cdot g[/tex3]

[tex3]k_A \cdot \Delta l_A=m_1 \cdot g+m_2 \cdot g[/tex3]

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[tex3]k_A \cdot \Delta l_A=m_1 \cdot g+m_2 \cdot g[/tex3]

[tex3]\Delta l_A=\frac{m_1 \cdot g+m_2 \cdot g}{k_A}[/tex3]

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[tex3]\Delta l_A=\frac{m_1 \cdot g+m_2 \cdot g}{k_A}[/tex3]

[tex3](l_{A_f} - l_{A_i})=\frac{m_1 \cdot g+m_2 \cdot g}{k_A}[/tex3]

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[tex3](l_{A_f} - l_{A_i})=\frac{m_1 \cdot g+m_2 \cdot g}{k_A}[/tex3]

Isolando [tex3]l_{A_f}[/tex3]

[tex3]\boxed{l_{A_f} =\frac{m_1 \cdot g+m_2 \cdot g}{k_A} - l_{A_i}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{l_{A_f} =\frac{m_1 \cdot g+m_2 \cdot g}{k_A} - l_{A_i}}[/tex3]

Para o segundo bloco:

[tex3]k_B \cdot \Delta l_B={m_2} \cdot g[/tex3]

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[tex3]k_B \cdot \Delta l_B={m_2} \cdot g[/tex3]

[tex3]\Delta l_B=\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}[/tex3]

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[tex3]\Delta l_B=\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}[/tex3]

[tex3](l_{B_f} - l_{B_i})=\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}[/tex3]

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[tex3](l_{B_f} - l_{B_i})=\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}[/tex3]

Isolando [tex3]l_{B_f}[/tex3]

[tex3]\boxed{l_{B_f}=\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}+ l_{B_i}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{l_{B_f}=\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}+ l_{B_i}}[/tex3]

Agora, podemos encontrar a distância:

[tex3]l_{A_f}+l_{B_f}=D[/tex3]

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[tex3]l_{A_f}+l_{B_f}=D[/tex3]

[tex3]\frac{m_1 \cdot g+{\color{orange}m_2 \cdot g}}{k_A} + l_{A_i}+\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}+ l_{B_i}[/tex3]

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[tex3]\frac{m_1 \cdot g+{\color{orange}m_2 \cdot g}}{k_A} + l_{A_i}+\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}+ l_{B_i}[/tex3]

Reorganizando os termos:

[tex3]l_{A_i} + l_{B_i} + \frac{m_1 \cdot g+{\color{orange}m_2 \cdot g}}{k_A} +\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}[/tex3]

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[tex3]l_{A_i} + l_{B_i} + \frac{m_1 \cdot g+{\color{orange}m_2 \cdot g}}{k_A} +\frac{{m_2} \cdot g}{k_B}[/tex3]

[tex3]l_{A_i} + l_{B_i} + \frac{(m_1 \cdot g+{\color{orange}m_2 \cdot g})\cdot k_B + m_2 \cdot g \cdot k_A}{k_A \cdot k_B} [/tex3]

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[tex3]l_{A_i} + l_{B_i} + \frac{(m_1 \cdot g+{\color{orange}m_2 \cdot g})\cdot k_B + m_2 \cdot g \cdot k_A}{k_A \cdot k_B} [/tex3]

Ou ainda:

[tex3]\boxed{D=l_{A_i} + l_{B_i} + \frac{g\cdot[m_1 \cdot k_B+m_2 \cdot (k_A + k_B)]}{k_A \cdot k_B}}[/tex3]

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[tex3]\boxed{D=l_{A_i} + l_{B_i} + \frac{g\cdot[m_1 \cdot k_B+m_2 \cdot (k_A + k_B)]}{k_A \cdot k_B}}[/tex3]