IME / ITA ⇒ (Michigan) Álgebra Tópico resolvido

[botelho]

Se [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

, [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

e [tex3]c[/tex3]

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[tex3]c[/tex3]

são números tais que [tex3]a+b+c=0[/tex3]

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[tex3]a+b+c=0[/tex3]

e [tex3]a^2+b^2+c^2=1[/tex3]

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[tex3]a^2+b^2+c^2=1[/tex3]

. Calcule [tex3]a^{4}+b^{4}+c^{4}[/tex3]

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[tex3]a^{4}+b^{4}+c^{4}[/tex3]

.

a) [tex3]3[/tex3]

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[tex3]3[/tex3]

b) [tex3]4[/tex3]

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[tex3]4[/tex3]

c) [tex3]5[/tex3]

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[tex3]5[/tex3]

d) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

e) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Resposta

---

d

[MateusQqMD]

Olá, Botelho

Usando que [tex3]a + b + c = 0[/tex3]

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[tex3]a + b + c = 0[/tex3]

, obtemos

[tex3]\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0 \\\\

ab + bc + ac = \frac{-1}{2}\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align} a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) = 0 \\\\

ab + bc + ac = \frac{-1}{2}\end{align}[/tex3]

Segue, daí, que

[tex3]\begin{align}(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2(ab^2c + a^2bc + abc^2) = \frac{1}{4} \\\\

(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + abc\underbrace{ (a+b+c)}_{ 0 } = \frac{1}{4} \\\\

(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 = \frac{1}{4}\end{align}[/tex3]

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[tex3]\begin{align}(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2(ab^2c + a^2bc + abc^2) = \frac{1}{4} \\\\

(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + abc\underbrace{ (a+b+c)}_{ 0 } = \frac{1}{4} \\\\

(ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 = \frac{1}{4}\end{align}[/tex3]

Por fim, elevando ambos os lados da igualdade [tex3]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/tex3]

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[tex3]a^2 + b^2 + c^2 = 1[/tex3]

ao quadrado, temos

[tex3]a^4 + b^4 + c^4 + 2\left( (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 \right) = 1,[/tex3]

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[tex3]a^4 + b^4 + c^4 + 2\left( (ab)^2 + (ac)^2 + (bc)^2 \right) = 1,[/tex3]

ou seja,

[tex3]a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]a^4 + b^4 + c^4 = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/tex3]

[Planck]

Olá botelho,

Por curiosidade, encontrei um teorema, que possui uma especificidade para esse caso.

Se:

[tex3]a^k+b^k+c^k = d^k+e^k+f^k[/tex3]

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[tex3]a^k+b^k+c^k = d^k+e^k+f^k[/tex3]

Para [tex3]k = 2, \,4[/tex3]

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[tex3]k = 2, \,4[/tex3]

. Defina [tex3]\{x,y\} = \{a^2+b^2+c^2, a^4+b^4+c^4\}.[/tex3]

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[tex3]\{x,y\} = \{a^2+b^2+c^2, a^4+b^4+c^4\}.[/tex3]

Então:

[tex3]a^4+b^4+c^4 = n\cdot(a^2+b^2+c^2)^2[/tex3]

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[tex3]a^4+b^4+c^4 = n\cdot(a^2+b^2+c^2)^2[/tex3]

Para um caso especial quando:

[tex3]a+b=\pm c [/tex3]

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[tex3]a+b=\pm c [/tex3]

Então:

[tex3]n= \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]n= \frac{1}{2}[/tex3]

[tex3]a^4 + b^4 + (a + b)^4 = \left ( \frac {1}{2} \right)\cdot[a^2 + b^2+ (a + b)^2 ]^2[/tex3]

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[tex3]a^4 + b^4 + (a + b)^4 = \left ( \frac {1}{2} \right)\cdot[a^2 + b^2+ (a + b)^2 ]^2[/tex3]

Logo, se [tex3]a^2 + b^2+ (a + b)^2 =1[/tex3]

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[tex3]a^2 + b^2+ (a + b)^2 =1[/tex3]

Concluímos que:

[tex3]a^4 + b^4 + (a + b)^4 = \left ( \frac {1}{2} \right)\cdot(1)^2[/tex3]

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[tex3]a^4 + b^4 + (a + b)^4 = \left ( \frac {1}{2} \right)\cdot(1)^2[/tex3]

[tex3]a^4 + b^4 + (a + b)^4 = \frac {1}{2} [/tex3]

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[tex3]a^4 + b^4 + (a + b)^4 = \frac {1}{2} [/tex3]

Ou:

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{a^4 + b^4 + c^4 = \frac {1}{2}}}[/tex3]

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[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{a^4 + b^4 + c^4 = \frac {1}{2}}}[/tex3]

Fonte:
https://sites.google.com/site/tpiezas/014
http://repositorio.unb.br/bitstream/104 ... eSouza.pdf
http://euler.free.fr/eslp/eslp.htm
http://mathworld.wolfram.com/Ramanujan6 ... ntity.html

[rodBR]

Para esse tipo de problema uma outra boa saída é utilizar Somas de Newton. Tem vários problemas aqui no fórum respondido pelos usuários sobre este tópico.