Considere os números reias (a) e (b) tais que (a+b)(a+1)(b+1)=2 e (a)^(3) + (b)^(3)=1. Encontre o valor de a+b.
Gabarito: 1
IME / ITA ⇒ OBM fatoração Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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undefinied3 
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Mar 2019
02
01:37
Re: OBM fatoração
Seja [tex3]S=a+b[/tex3]
e [tex3]P=ab[/tex3]
[tex3](a+b)(ab+a+b+1)=2 \rightarrow S(S+P+1)=2 \rightarrow S^2+SP+S=2[/tex3]
[tex3]a^3+b^3=1 \rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=1 \rightarrow (a+b)((a+b)^2-3ab)=1 \rightarrow S(S^2-3P)=1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3S^2+3SP+3S=6 \\
S^3-3SP=1
\end{cases} \rightarrow S^3+3S^2+3S=7[/tex3]
De onde é fácil ver que [tex3]S=1[/tex3] é solução, e reduzindo o grau, verifica-se que a quadrática não tem solução real, sendo [tex3]a+b=1[/tex3] solução única.
[tex3](a+b)(ab+a+b+1)=2 \rightarrow S(S+P+1)=2 \rightarrow S^2+SP+S=2[/tex3]
[tex3]a^3+b^3=1 \rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)=1 \rightarrow (a+b)((a+b)^2-3ab)=1 \rightarrow S(S^2-3P)=1[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3S^2+3SP+3S=6 \\
S^3-3SP=1
\end{cases} \rightarrow S^3+3S^2+3S=7[/tex3]
De onde é fácil ver que [tex3]S=1[/tex3] é solução, e reduzindo o grau, verifica-se que a quadrática não tem solução real, sendo [tex3]a+b=1[/tex3] solução única.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
goncalves3718
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