Ensino MédioSistema Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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dylanchan0910
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Fev 2019 14 10:07

Sistema

Mensagem não lida por dylanchan0910 » Qui 14 Fev, 2019 10:07

Determine [tex3]a[/tex3] , [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
a+b+c=3 \\
ab+bc+ac=6 \\
(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2=12
\end{cases}[/tex3]

Última edição: caju (Sex 15 Fev, 2019 11:11). Total de 1 vez.
Razão: colocar tex nas expressões matemáticas.



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MateusQqMD
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Fev 2019 14 10:45

Re: Sistema

Mensagem não lida por MateusQqMD » Qui 14 Fev, 2019 10:45

O enunciado é esse mesmo?




Autor do Tópico
dylanchan0910
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Fev 2019 15 08:27

Re: Sistema

Mensagem não lida por dylanchan0910 » Sex 15 Fev, 2019 08:27

Não. Por que a pergunta? O problema passa essas informações e pede o valor de a^3+b^3+c^3. Desconfio que precise fazer sistema ou não é possível por sistema?



guila100
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Fev 2019 15 09:34

Re: Sistema

Mensagem não lida por guila100 » Sex 15 Fev, 2019 09:34

eu encontrei foi um polinomio aqui

(a+b+c)= 3
(a^2+b^2+c^2 +2ab+ 2ac + 2bc = 9
a^2+b^2+c^2 +2(ab+ac+bc)= 9
a^2+b^2+c^2+2(6)=9
a^2+b^2+c^2= -3
b^2+c^2=-3-a^2
ab+bc+ac=6
bc+a(b+c)=6
bc+a(3-a)=6
bc=6-a(3-a)
bc=(6-3a+a^2)

a^2(b^2+c^2)+(bc)^2=12[
substituindo
a^2(-3-a^2)+(6-3a+a^2)^2=12
ai dai deu um polinomio de 4 grau
onde a 1 raiz é a = 1
eu não sei se é por ai que faz mas é onde deu algum resultado.



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MateusQqMD
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Fev 2019 15 13:06

Re: Sistema

Mensagem não lida por MateusQqMD » Sex 15 Fev, 2019 13:06

dylanchan0910 escreveu:
Sex 15 Fev, 2019 08:27
Não. Por que a pergunta? O problema passa essas informações e pede o valor de a^3+b^3+c^3. Desconfio que precise fazer sistema ou não é possível por sistema?
Eu não encontrei solução real para a, b e c. Mas sendo o pedido do enunciado [tex3]a^3+b^3+c^3[/tex3] , conseguimos terminar. Uma ideia é montarmos um polinômio de forma que [tex3]a,\,\, b\,\, \text{e} \,\, c[/tex3] sejam suas raízes.

Para isso, vamos começar elevando a segunda equação ao quadrado:

[tex3]ab + bc + ac = 6 [/tex3]

[tex3](ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2(ab^2c + a^2bc + abc^2) = 36[/tex3]

[tex3]12 + 2(abc)(a+b+c) = 36 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, abc = 4[/tex3]

O problema, agora, se resume a descobrirmos as raízes do seguinte polinômio

[tex3]f(X) = X^3 -3X^2 +6X -4[/tex3]

De onde tiramos que as soluções são [tex3]1,\,\, 1 -i\sqrt3\,\, \text{e} \,\, 1 + i\sqrt3[/tex3] . Por isso desconfiei do pedido inicial.

Segue, daí, que, para calcularmos [tex3]a^3+b^3+c^3[/tex3] , é suficiente fazermos [tex3]f(a) + f(b) + f(c) = 0[/tex3]

[tex3]f(a) = a^3 -3a^2 +6a -4 = 0 [/tex3]

[tex3]f(b) = b^3 -3b^2 +6b -4 = 0 [/tex3]

[tex3]f(c) = c^3 -3c^2 +6c -4= 0 [/tex3]

Ou seja,

[tex3]a^3+b^3+c^3 = 3(a^2 + b^2 + c^2) - 6(a + b + c) + 12 = -9 - 18 + 12 = -15[/tex3]
Última edição: MateusQqMD (Sex 15 Fev, 2019 14:09). Total de 1 vez.



guila100
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Fev 2019 15 14:28

Re: Sistema

Mensagem não lida por guila100 » Sex 15 Fev, 2019 14:28

MateusQqMD escreveu:
Sex 15 Fev, 2019 13:06
dylanchan0910 escreveu:
Sex 15 Fev, 2019 08:27
Não. Por que a pergunta? O problema passa essas informações e pede o valor de a^3+b^3+c^3. Desconfio que precise fazer sistema ou não é possível por sistema?
Eu não encontrei solução real para a, b e c. Mas sendo o pedido do enunciado [tex3]a^3+b^3+c^3[/tex3] , conseguimos terminar. Uma ideia é montarmos um polinômio de forma que [tex3]a,\,\, b\,\, \text{e} \,\, c[/tex3] sejam suas raízes.

Para isso, vamos começar elevando a segunda equação ao quadrado:

[tex3]ab + bc + ac = 6 [/tex3]

[tex3](ab)^2 + (bc)^2 + (ac)^2 + 2(ab^2c + a^2bc + abc^2) = 36[/tex3]

[tex3]12 + 2(abc)(a+b+c) = 36 \,\,\, \Rightarrow \,\,\, abc = 4[/tex3]

O problema, agora, se resume a descobrirmos as raízes do seguinte polinômio

[tex3]f(X) = X^3 -3X^2 +6X -4[/tex3]

De onde tiramos que as soluções são [tex3]1,\,\, 1 -i\sqrt3\,\, \text{e} \,\, 1 + i\sqrt3[/tex3] . Por isso desconfiei do pedido inicial.

Segue, daí, que, para calcularmos [tex3]a^3+b^3+c^3[/tex3] , é suficiente fazermos [tex3]f(a) + f(b) + f(c) = 0[/tex3]

[tex3]f(a) = a^3 -3a^2 +6a -4 = 0 [/tex3]

[tex3]f(b) = b^3 -3b^2 +6b -4 = 0 [/tex3]

[tex3]f(c) = c^3 -3c^2 +6c -4= 0 [/tex3]

Ou seja,

[tex3]a^3+b^3+c^3 = 3(a^2 + b^2 + c^2) - 6(a + b + c) + 12 = -9 - 18 + 12 = -15[/tex3]
achei a mesma coisa que tu so que fui por outro caminho mas enfim então não estava tão errado quanto pensei ontem a minha deu 2 complexos tambem



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dylanchan0910
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Fev 2019 19 07:56

Re: Sistema

Mensagem não lida por dylanchan0910 » Ter 19 Fev, 2019 07:56

Pessoal, eu tenho uma dúvida. Todo sistema não linear pode ser reduzido as relações de Girard??




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